解三角形（一）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.(二) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．第1课时 三角形中的有关问题变式训练1：(1)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = （ ）A ．14 B ．34C ．24D ．23解：B 提示：利用余弦定理（2）在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A.020,45,80b A C === B.030,28,60a c B === C.014,16,45a b A ===D. 012,15,120a c A ===解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在△ABC 中，已知5cos 13A =，3sin 5B =，则cosC 的值为（ ）解三角形正弦定理余弦定理正弦定理的变形形式余弦定理的变形形式解三角形应用举例测量实习典型例题基础过关 知识网络 考纲导读高考导航A1665 B 5665 C 1665或 5665 D 1665-解：A 提示:在△ABC 中，由sin sin A B A B >⇔> 知角B 为锐角（4）若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．解：02a << 提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)a a a a a a +++>+⎧⎨+++<+⎩可得（5）在△ABC 中，060,1,sin sin sin ABCa b cA b SA B C++∠===++则= ．提示：由面积公式可求得4c =，由余弦定理可求得a =例3. 已知在△ABC 中，sinA(sinB ＋cosB)－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C ．解：由sinA(sinB ＋cosB)－sinC ＝0，得sinAsinB ＋sinAcosB －sin(A ＋B)＝0，所以sinB(sinA －cosA)＝0∵B∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA＝sinA ，由A∈(0, π)，知A ＝4π从而B ＋C ＝π43，由sinB ＋cos2C ＝0得sinB ＋cos2(π43－B)＝0cos ＝(23π－2B)＝cos[2π－(2π＋2B)]＝cos(2π＋2B)＝－sin2B 得sinB －sin2B ＝0，亦即sinB －2sinBcosB ＝0，由此各cosB ＝21，B ＝3π，C ＝125π∴A＝4π B ＝3π C ＝π125变式训练3：已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sinB ，△ABC 外接圆半径为2.（1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sin B 得22（224R a －224R c ）=（a －b ）Rb2.又∵R=2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab .∴cos C=ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C ＜180°，∴C =60°.（2）S=21absinC=21×23ab=23sinAsinB=23sinAsin （120°－A ）=23sinA （sin120°cos A －cos120°sin A ）=3sinAcosA+3sin 2A =23sin2A －23cos2A+23=3sin （2A －30°）+23.∴当2A=120°，即A=60°时，S max=233.第2课时应用性问题；２．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；３．实际问题中有关术语、名称．（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．例1．(1)某人朝正东方走x km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好3km，那么x等于（）（A）3（B）32（C）3或32（D）3解：C 提示：利用余弦定理（2）甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是（）A ,3m B ,C ,mD ,23m m解：A（3）一只汽球在2250m的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为018，汽球向前飞行了2000m后，又测得A点处的俯角为082，则山的高度为（）A 1988mB 2096mC 3125mD 2451m解： B（4）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东025方向，B向西偏北020方向，若A的航行速度为25 nmi/h，B的速度是A的35，过三小时后，A、B的距离是．解：90.8 nmi(5) 货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行，航向为方位角0140NBC∠=，A处有灯塔，其方位角0110NBA ∠=，在C 处观测灯塔A 的 方位角035MCA ∠=，由B 到C 需航行半小时， 则C 到灯塔A 的距离是解：10(62)-km 提示：由题意知 075BCA ∠=，利用余弦定理或解直角三角形可得变式训练1：如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1 ）？解：连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10×cos120°=700. 于是,BC=107.∵sin 20107ACB ∠=, ∴sin∠ACB=73,∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援.例2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南2(cos )10θθ=方向300 km 的海面P 处，并以20 km / h 的速度向西偏北 45的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h 的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭,则6010+≤t OQ 由余弦定理知OPQ PO PQ PO PQ OQ ∠⋅-+=cos 2222由于PO=300,PQ=20t()5445cos cos =-=∠ θOPQ 故2222203009600OQ t t =+-()21060t ≤+ 即2362880t t -+≤ 解得 2412≤≤t答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．变式训练2：如图所示,海岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B 处测得岛A 在船的南偏东030方向上，船航行30海里后，在C 处测得岛A 在船的南偏东045方向上，如北 2010A B•C果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？解：由题意得，在△ABC 中，BC=30，030B =，0135ACB ∠= 所以 015A =，由正弦定理可知：sin sin BC ACA B=0030sin15sin 30AC ∴= 所以060cos15AC =， 于是A 到BC 所在直线的距离为0sin 4560cos15sin 45AC =40.9838≈> 所以船继续向南航行无触礁危险。

例3. 如图所示，公园内有一块边长2a 的等边△ABC 形状的三角地， 现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上， E 在AC 上.（1）设AD ()x x a =≥，ED y =，求用x 表示y 的函数关系式； （2）如果DE 是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE 的位置 应该在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的 位置又在哪里？请给予证明. 解：（1）在△ABC 中，D 在AB 上，2a x a ∴≤≤S △ADE =12S △ABC 02011sin 60sin 6024x AE AB ∴⋅=⋅ 22a AE x∴= ，在△ADE 中，由余弦定理得：4222242a y x a x =+- 422242(2)a y x a a x a x∴=+-≤≤（2）令 2x t =，则224a t a ≤≤ 则4242a y t a t=+-令 42224()2,[,4]a f t t a t a a t=+-∈， 则4242222244(2)(2)()1a t a t a t a f t t t t--+'=-== 22(,2) ()0t a a f t '∴∈<当时,；22(2,4) ()0t a a f t '∈>当时, 222222 ()3,(2)2,(4)3f a a f a a f a a ===又22,2 t a x a ∴==当 即 时,y 有最小值2a ，此时DE∥BC，且2AD a =224, 2 t a a x a a y ==当 或 即 或 时,有最大值3a ，此时DE 为△ABC 的边AB 或AC 的中线上.变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h ，梯形面积为S ，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角α应该是多少？解：设 CD a =，则2,,sin tan h h CD a CB AB a αα===+则， 所以 12()2tan tan h S hS a a h a h αα=++⋅∴=-设两腰与下底之和为l ，则22cos 2tan sin sin S h h S l a CB h h h αααα-=+=-+=+⋅22212sin 3sin cos 2222sin cos 2sin cos 2222S S h h h h ααααααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪=+⋅=+⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31tan 222tan 2S h h αα⎛⎫⎪=++⋅ ⎪⎪⎝⎭312tan 3222tan 2S Sh h h h αα⎛⎫ ⎪≥+⨯⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭当且仅当31tan 222tan 2αα=时，上式取等号，即当3tan 23α=时，上式取等号 0030,602αα∴==即，所以下角060α=时，梯形两腰及下底之和达到最小．例4. 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC 。