1. ·2.已知二阶系统的状态方程122()(),()()x t x t x t u t ==性能泛函3222221212120111[(3)2(3)][2()4()2()()()]222J x x x t x t x t x t u t dt =+++++⎰求最优控制。

解:把状态方程和性能指标与标准状态方程和标准性能指标比较，可得0,101,02,11,,,,0,010,21,42A B P Q R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦考虑到()K t 是对称阵，设11121222,(),k k K t k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,002,12[0,1],0,01,0,,1,1,4,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦令上式等号左右端的对应元相等，得211121211122222212222221224k k k k k k k k k =-=-+-=-+-这是一组非线性微分方程。

由边界条件(3)K P =即11121222(3),(3)1,0(3),(3)0,2k k k k ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 最优控制为11112112122212222()()(),()2*[0,1]2()2(),()T u t R B K t X t k k x t k x t k x t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3. ）4.能控的系统状态方程为122()(),()()x t x t x t u t ==这是一种双积分系统，其输出为1()x t ，其输入为()u t ，其传递函数为12()1()()x s G s u s s==其性能泛函为222112201[()2()()()()]2J x t bx t x t ax t u t dt ∞=+++⎰其中220a b ->求最优控制。

解：稳态时连续系统的状态调节器问题：由状态方程和性能指标求得0,101,,,10,01A B Q R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦b ，b,a 显然Q 为半正定阵。

可控性阵为[]0,1,1,0B AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是非奇异的，系统可控。

考虑到()K t 是对称阵，设11121222(),K t k k =⎢⎥⎣⎦代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,001,[0,1],0,01,0,,1,,,k k k k k k k k k k b k k k k k k k k b a k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦令上式等号左右端的对应元相等，得2111212122211222221212k k k k k k b k k k a=-=--=--当111222f t →∞时，k 、k 、k 都趋于零，则黎卡提微分方程变为黎卡提代数方程2121222112221201002k k k k b k k a=-=--=--上面的方程组可得111222k 、k 、k 的稳态值111222 =1 b k k k 为保证K 正定，根据塞尔韦斯特判据，K 的各阶主子式应大于零，即 *211221122120,0,k k k k k >>>将求得的111222k k k 、、的值代入上面正定性条件，可得1+a >最优控制可计算如下1111211212222()()(),()[0,1]()(),()T u t R B K t X t k k x t x t t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由于12()1()()x s G s u s s==拉氏反变换得1()x t ut =2()()1u t x t t=-+ 5. 22211210min (0.1),,J x u dt x x u x x ∞=+=-+=⎰求最优控制。

解：稳态时连续系统的状态调节器问题：由状态方程和性能指标求得1,010,0,,0.11,00A B Q R -⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，0,1显然Q 为半正定阵。

可控性阵为[]1,1,0,1B AB -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是非奇异的，系统可控。

%考虑到()K t 是对称阵，设11121222(),K t k k =⎢⎥⎣⎦代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即1112111211121112111212221222122212221222,,,,,1,01,110,010[1,0],1,00,0,,0,,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦0,1令上式等号左右端的对应元相等，得211111212121122122221210210101k k k k k k k k k k =-=-+=-当111222f t →∞时，k 、k 、k 都趋于零，则黎卡提微分方程变为黎卡提代数方程211121211221221201020100101k k k k k k k =-=-+=-上面的方程组可得111222k 、k 、k 的稳态值111222=1 1k k k为保证K 正定，根据塞尔韦斯特判据，K 的各阶主子式应大于零，即211221122120,0,k k k k k >>>将求得的111222k k k 、、的值代入上面正定性条件，满足。

最优控制可计算如下11112111112212222()()(),()10[1,0]10()10(),()T u t R B K t X t k k x t k x t k x t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6. 线性系统的状态方程()(),(0)1x t u t x =-=性能泛函220(()())J x t u t dt ∞=+⎰试求最优控制函数。

解：0,1,2,2a b q r ==-==[因为()()x t u t =-，系统是可控的。

黎卡提代数方程10Ka aK Kb bK q r--+-=代入得1202KK -=解得20K => 最优控制1()()u t bKx t r =-代入得11()()*2()()2u t bKx t x t x t r =-==代入状态方程：()()x t x t =-所以tx ce -= 又因为(0)1x =所以1c =所以最优控制()tu t e -= 7. 22210min (),k k k k k k J xu x x u +==+=+∑试求最优控制函数。

解：本题为离散状态调节器问题。

由题意：1,1,0,1,1,3A B P Q R N ====== 黎卡提方程可写为111()()()[(1)()()()]()T T K k Q k A k K k B k R k B k A k ---=+++。

代入得11(1)()1[(1)1]1(1)1K k K k K k K k --+=+++=+++终端值(3)(3)0K P ==。

由3k =反向计算，求出(2)(1)(0)K K K 、、。

(3)(2)1=1(3)1K K K =++，(2)3(1)=1=(2)12K K K ++，(1)8(0)1=(1)15K K K =++最优控制1()()()()[()()]()T T u k R k B k A k K k Q k X k --=--代入得()[()1]()u k K k X k =--3(0)[(0)1](0)(0)5u K x x =--=-，2(1)(0)(0)(0)5x x u x =+=再计算(1)u11(1)(1)(0)25u x x =-=-，1(2)(1)(1)(0)5x x u x =+=再计算(2)u(2)[(2)1](2)0u K x =--=8. 给定一阶系统()(),(1)3,x t u t x ==性能泛函62201(5)()2J x u t dt =+⎰试求最优控制*,u 使J 取极小值。

(解：由题意得：0A =，1B =，2P =，0Q =，1R =黎卡提方程可写为1()()()()()()()()()()()TTK t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+- 代入得2()()K t K t =解得：1()K t t c =-+又因为()2f K t P ==所以132c =-则12()131322K t t t =-=-- 最优控制计算如下2()()()()132u t K t X t X t t=-=--代入状态方程2()()()132x t u t x t t ==--解得()(213)x t c t =-又因为(1)3x =所以311c =-639()11t x t -+=9. 对一维线性系统1220(1)()2(),0,1,..., 1.()4(),()N k x k x k u k k N J x N u k ββ-=+=+=-=+∑为正常数求使J 取最小值的最优控制。

解：由题意：()1,()2,2,0,8A k B k P Q R β=====黎卡提方程可写为111()()()[(1)()()()]()T T K k Q k A k K k B k R k B k A k ---=+++ 代入得111(1)()[(1)]212(1)K k K k K k K k ββ--+=++=++ *1()()()()[()()(1)()]()(1)()TTU k L k X k L k R k B k K k B k B k K k A k -=-=+++()L k 最优反馈增益阵代入11(1)()()()[84(1)]2(1)()*()22(1)K k U k L k X k K k K k X k X k K k ββ-+=-=-+++=-++10. 921(),..(1)()(),(0)1,(10)02J u k s t x k x k u k x x α=+=+==∑求最优控制*()u k 和 最优轨迹*()x k 。