cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz


2
d

4 d
a
cos r 4 sin 3dr
0
0
0

2
4 0
sin
3


1 5
(
a5 cos5

0)d
a5. 10
解 2 采用柱面坐标
x2 y2 z2 z r, D : x2 y2 a2,
规定： 0 r , 0 , 0 2.
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为P，
r M(x, y,z)

点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
则 OA x, AP y, PM z.
用哪种坐标？柱面坐标 1
锥面化为: r = z
上顶： z = 1
下底： z r
Dxy: r 1
Dxy
0
....
x
1y
11
I


D
rdrdθ
r
r2

dz 1
2π
1r
1
0 dθ 0 r 2 1 dr r dz
2π
1 1 r
0
( 1

r
2
1)dr

(ln2 2 )
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M(x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用
三个有次序的数r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按
逆时针方向转到有向线段 OP 的角，这里 P 为
点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r，， 就叫做点 M 的球面坐标．
x
r sind rd
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
例4
z
: 球面 x2 y2 z2 R2
及 平 面 x 0, y 0,
z 0在 第 一 卦 限
所 围 成 的 区 域.
求 f (x, y, z)dxdydz
下底： z = 0
Dxy: x 2 y 2 1
.
.
Dxy 0
1y
1
x
x y
I dxdy
zdz
Dxy
用哪种坐标？ 柱面坐标
2π
1
1r 2
I = dθ rdr zdz
0
0
0
. .
4
例2
1
I


Ω
x2

y2
dxdydz 1
: 锥面 x y z , z 所围z
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2 y2 16,
0 2
0 r 4
1 :

r
2

z

, 8
2
D2 : x2 y2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2

r
2

z

. 2
2
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
任取球体内一点
r
0
对r: 从0R积分,得半径
x
R
y
z
对:
从0
π 2
积分，
M
r
0

.
x
R
y
任取球体内一点
z
对r: 从0R积分
得半径
对:
从0
π
积分，

2 得锥面
0
对 :
从0 π 积分，
2
扫遍球体
x
Ry
z

0
R
y
.
x
.


I 2 d 2 d R f (r sin cos , r sin sin , r cos)r 2 sindr
d

4 d
2a r 2 sin dr
0
0
0
2
4
sinLeabharlann (2a)3 d 4 (
2 1)a3 .
0
3
3
: r z a, 0 r a, 0 2,
I
( x2 y2 )dxdydz
2
a
d rdr
a r 2dz
0
0
r

2 a r 3(a r)dr 2[a a4 a5 ] a5 .
0
4 5 10
例 6 求曲面 x2 y2 z2 2a2与z x2 y2 所围 成的立体体积.
1 8
I1 rdrd r2 fdz
D1
2
2
d
0
2
4
dr
0
8
r2
r

r
2dz
2

45 3
,
2
I2 rdrd r2 fdz
D2
2
2
2
d dr
0
0
2
r2 2
r

r 2dz

25 6
,
原式I 45 25 336 . 36
. . .
2
.
例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz， 其中

是曲线 y2 2z， x 0 绕oz轴旋转一周而成
的曲面与两平面z 2, z 8所围的立体.
解
由
y
2
2z
绕 oz
轴旋转得，
x0
旋转面方程为 x2 y2 2z,
所围成的立体如图，
o
x
A

xy

P
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,

y

r
sin
sin
,
z r cos .
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
dr
d r sin
r

o
d
z .
o

x
r
y

P(r, )
如图，三坐标面分别为
r 为常数 圆柱面；
z
为常数
z 为常数
半平面； 平 面．
M (x, y, z)
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为
o

r P(r, )
y
x r cos ,

y

r
sin
,
x
z z.
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
第五节 利用柱面坐标和球面坐标
计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三 个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标． z
规定： 0 r ,
M(x, y,z)
0 2,
解 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
由 x 2 y2 z 2 2a 2
r 2a,
z x2 y2 ,
4 : 0 r 2a, 0 ,
4
0 2,
由三重积分的性质知 V dxdydz,

V
2
0
0
0
例 5 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中 是锥面
x2 y2 z2， 与平面z a (a 0)所围的立体.
解 1 采用球面坐标
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
dv rdrddz,
z
rd
dr
r
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d

x
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
例1 计算 I zdxdydz : x2 y2 z2 1, z 0 z
上顶： z 1 x2 y2