单层板的正轴应力~应变关系
单层板正轴向的应变~应力关系符合广 义胡克定律
含5个工程弹性常数，其中独立的有4个
1 2 E1 E2
工程常数的可由试验方便测得
用柔度分量表示的应变~应力关系
1 S11 2 S 21 S 12 61 S12 S 22 S62 S16 1 S11 S 26 2 S 21 0 S66 12 S12 S 22 0 0 1 0 2 S66 12
工程弹性常数的限制条件
E1 , E2 , G12 0 S11 , S22 , S66 0 Q11 , Q22 , Q66 0
E1 E2 或 E2 E1
2 1 2 2
可用此检验材料试验数据的正确性
例题
已知实验测得硼纤维/环氧复合材料
E1 83.0GPa, E2 9.31GPa
2.1 单层板的正轴刚度
单层板在正轴的应力~应变关系
按平面应力状态进行分析 只考虑单层面内的应力 依据是单轴试验结果
纵向单轴试验
1
1
1
E1
2 11 1
1
1
1
E1
试验如何做
试验如何做
横向单轴试验
1 2 2 2
xy , x xy , y y , xy
S 61 S 11 S 62 S 22 S 26 S 66
x , xy
S 16 S 66
偏轴工程弹性常数间的关系
由于柔度分量的对称性：
x Ex S 22 a y E y S 11 xy , x Ex S 66 b x , xy Gxy S 11 xy , y E y S 66 c y , xy Gxy S 22
sin 2 cos 2 2sin cos
sin cos x sin cos y cos 2 sin 2 xy sin cos 1 sin cos 2 cos 2 sin 2 12
x cos 2 2 sin y 2sin cos xy
1 [ T ] 1 x
[T ] [T ]
1 T
[T ]T [T ]1
单层板的偏轴应力~应变关系
x [T ]1 1 [T ]1 Q1 [T ]1 Q[T ] x Q x
单层板的偏轴模量

Q 矩阵的元素
Q ij 称为偏轴模量
4 m Q11 n4 Q 22 2 2 m n Q12 2 2 Q m n 66 3 Q16 m n Q mn3 26
简写为
Q12 Q22 0
0 1 1 0 2 Q 2 Q66 12 12
Q
Q11 mE1 Q12 m 2 E1 Q21 m 1E2 Q66 G12 m 1 1 1 2 Q22 mE2 Q16 Q61 Q26 Q62 0
x [T ] 1
应变转换公式-由几何关系导出
2 cos 1 2 sin 2 2sin cos 12
sin 2 cos 2 2sin cos
1 [T ] x
脆性材料 b
单层板的基本强度
Xt-纵向拉伸强度
4 2 2 2 2 m 2m n 4m n Q 11 2 2 4 4 2 2 mn m n 4m n Q 22 2 2 2 m2 n2 2m 2 n 2 m n Q12 3 3 3 3 3 mn mn m n 2 mn m n Q66 m3n m3n mn3 2 m3n mn3 n4 2m 2 n 2 4m 2 n 2 m cos n sin
2
Q ， Q
U3 是周期相的幅值；
偏轴模量分量的估算值
Q11 远大于其他正轴模量，计算 Q ij 时 起主要作用，仅考虑 Q11 的贡献。
U1
Q Q
3Q11 8
U2 Q11 2 Q Q Q U3 U4 U5 Q11 8
单层的偏轴模量
S [T ]1 S [T ] S Q
1
Q S
1
单层板的偏轴工程弹性常数
单层板在偏轴下由单轴应力或纯剪应力确 定的刚度性能参数； 不便用实验测得
可通过计算求得
偏轴工程弹性常数的定义
单层板偏轴下单轴应力或纯剪应力的刚度性 能参数，根据此定义
1 Ex S 11 1 Ey S 22 1 Gxy S 66 S 21 x S 11 S 12 y S 22
2
2
2
E2
2
2
2
E2
面内剪切试验
12
12
G12
单层板的正轴应变应力关系
所有载荷共同作用时
1 E1 1 1 2 E 1 12 0
2
E2
1 E2 0
0 1 0 2 12 1 G12
偏轴工程弹性常数的方向性
Ex-在0度最高，90度最低
随方向角增大而迅速下降
Gxy-在0度和90度方向最低
±45度最高
υx-在0度~90度之间有1个最
大值，在90度方向最小
ηxy,x-在0度和90度为0，在
中间角度有较大值
耦合效应与耦合系数
复合材料单层板在偏轴应力作用下，存在拉 剪耦合效应。
cos 4 cos 2 cos 4 0 cos 4 1 Q 0 cos 4 U 2 U Q 1 sin 2 sin 4 3 2 1 sin 2 sin 4 2 Q U1 Q 3Q11 3Q22 2Q12 4Q66 8 U2 Q11 Q22 2 Q Q U3 Q11 Q22 2Q12 4Q66 8 U4 Q11 Q22 6Q12 4Q66 Q U5 Q11 Q22 2Q12 4Q66 8 cos 2 U1Q Q11 Q U1 Q 22 Q U 4 Q12 U Q Q 5 66 Q16 0 Q 26 0
1 [T ] x
sin 2 cos 2 sin cos
1
2sin cos x 2sin cos y 2 2 cos sin xy
x cos 2 2 sin y sin cos xy 2sin cos 1 2sin cos 2 cos 2 sin 2 12
称为模量分量 或刚度分量
单层板的正轴刚度的描述方法
工程弹性常数-由试验测定或用细观力学方法检
测，物理意义明确
柔量分量-描述应变~应力关系，用于由应力计算
应变，与工程弹性常数简单换算
模量分量-描述应力应变关系，用于由应变求应
力，与柔量分量互逆，即[Q]=[S] -1
确定单层板正轴刚度的方法是用试验测定 工程常数，一般测E1、E2 、 G12和v1
xy
单轴拉伸状态的变形图
偏轴工程弹性常数的计算
偏轴工程弹性常数与正轴工程弹性常数之 间没有直接的转换关系，它是由柔量导引 得出的
单层板的强度
单层板的基本强度 - 强度指标
单层板的强度准则 - 强度理论
单层板的强度比方程- 计算方法
各相同性材料的强度指标
各相同性材料的强度指标只有1个 塑性材料 s
简写为
S
1 S11 E1 S66 1 G12 S12
称为柔量分量 或柔度分量
2
E2
S21
1
E1
1 S22 E2
S16 S61 S26 S62 0
模量分量表示的应力~应变关系
1 Q11 2 Q12 0 12
xy , x x , xy xy x
x x
Ex S 61
xy , y
xy y
y
y
E y S 62
y x xy Gxy S 16 y , xy xy Gxy S 26 xy xy
xy
1 1.97, 2 0.22
试判断试验结果是否合理？
2.2 单层板的偏轴刚度
单层板在非材料主向的刚度
实际工程应用的需要 通过正轴刚度转换得到
应力转换与应变转换
应力转换矩阵-由静力平衡条件导出
2 2 cos sin 1 2 2 sin cos 2 sin cos sin cos 12
单层板的偏轴模量
偏轴模量具有对称性 Qij Q ji 模量转换公式只适用从正轴到偏轴的转换
Q16 和
Q 26 是联系剪应变和正应力的耦合分量
Q 61 和 Q 62 是联系正应变和剪应力的耦合分量 偏轴模量只与常数 Q11、Q22、Q12、Q66 有关
倍角形式的模量转换公式
8
单层板的偏轴模量