(2) 按套筒的扭转强度求许可载荷。 3 3 30 4 πD π × 40 Wp = (1 − α 4 ) = × 1 − = 3622.2mm 3 16 16 40 T ≤ [τ ] T ≤ W p [τ ] τ= Wp
M max = Tmax = W p [τ ] = 72 443.4 N ⋅ mm = 72.44 N ⋅ m
P M = 9549 n
式中, M——作用于轴上的外力偶矩, 单位: N·m； P——轴所传递的功率, 单位: kW； n——轴的转速, 单位: r/min。 说明： 说明：轴上输入力偶矩是主动力偶矩，其转向与轴的转向相 同； 轴上输出力偶矩是阻力偶矩， 其转向与轴的转向相反。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 【例3-1】已知某传动轴传递的功率为7.5 kW，转速为300 r/min， 】 试计算此传动轴传递的外力偶矩。 解：
(d) T 0 (c) (b) A
1 1 T1
B
2
C
例题3-3图 例题 图
MA
1 2 T2
MA
MB
2
x
－47.75N·m －143.24 BN·m
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 解 (1) 计算外力偶矩M。
15 M A = 9549 × = 143.24 N ⋅ m 1000 10 M B = 9549 × = 95.49 N ⋅ m 1000
为了直观地表示圆轴上扭矩的作用情况，把圆轴的轴线作为x轴 为了直观地表示圆轴上扭矩的作用情况 ， 把圆轴的轴线作为 轴 （ 横 坐标轴） 以纵坐标轴表示扭矩 ， 坐标轴），以纵坐标轴表示扭矩T，这种用来表示圆轴横截面上扭矩沿轴线 方向变化情况的图形称为扭矩图。 方向变化情况的图形称为扭矩图。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 所示的悬臂梁的扭矩图。 【例3-2】 绘出图 (a)所示的悬臂梁的扭矩图。 】 所示的悬臂梁的扭矩图
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 传动轴（受扭圆轴） 传动轴（受扭圆轴）实例
F
d
F A
F′
Me
F
M B
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
外力偶矩、扭矩与扭矩图 外力偶矩、
1.外力偶矩的计算 外力偶矩的计算
在工程中，作用于圆轴上的外力偶矩一般不是直接给出的， 通常给出的是 圆轴所需传递的功率和转速。因此，需要了解功率、 转速和外力偶矩三者之间 的关系， 即：
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 【例3-7】 汽车传动轴输入的力偶矩M=1.5kN·m，直径d=75mm， 】 轴的许用扭转角［θ］=0.50°/m，材料的切变模量G=80 GPa， 试校核此传动轴的刚度。 解 ：(1) 计算扭矩
此传动轴横截面上的扭矩为T=M=1.5kN·m。 (2) 计算Ip
•强度计算 强度计算 圆轴扭转的强度条件为：圆轴危险截面上的最大切应力小 于或等于材料的许用切应力，即： τmax≤［τ］ ［ ］ 对于等截面圆轴有：
τ max
Tmax = ≤ [τ ] Wp
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 【 例 3-4】 一阶梯圆 】 轴如图 (a)所示，轴 上受到外力偶矩
3.14 × 0.0754 Ip = = = 5.12 × 10−6 m 4 32 32
(3) 校核轴的刚度
πd 4
θ max
Tmax 180° 1.5 × 103 180° = ⋅ = × = 0.21° / m < [θ ] 9 −6 GI p π 80 × 10 × 5.12 × 10 3.14
(2) 计算扭矩T。 由图(b)可得：
方向与轴的转向相同 方向与轴的转向相反
T1+MA=0
由图 (c)可得：
T1= -MA=-143.24N·m T2=MB-MA=-47.75N·m
T2+MA-MB=0
最大，其值为-143.24 N·m。
(3) 绘制扭矩图如图 (d)所示。由图可知，AB段所承受的扭矩
7.5 M = 9549 × = 238.725N ⋅ m 300
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
外力偶矩、扭矩与扭矩图 外力偶矩、
2.扭矩和扭矩图 扭矩和扭矩图
M1 (a) m M1
扭矩，单位为N·m T （扭矩，单位为N·m ）
m
M2
M3
截 面 法
(b)
T′
T − M1 = 0
M2 M3
T = M1
τ max
T = Wp
πD 3
(1 − α 4 )
显然，Wp=Ip/R。上式中, Wp为抗扭截面系数 为抗扭截面系数，单位为m3、mm3。 实心圆轴： 实心圆轴： W p =
πd 3
16
空心圆轴： 空心圆轴： W p =
16 其中α=d/D。
d
d
D
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
圆轴扭转的切应力与强度计算
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
3.2课题二：轴 课题二： 课题二
3.2.1 轴的分类与材料 3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 传动轴的强 轴的 3.2.3 心轴的强度和刚度计算计算 3.2.4 转轴的强度设计 轴的强
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
传动轴的概念与实例 外力偶矩、 外力偶矩、扭矩与扭矩图 圆轴扭转的切应力与强度计算 圆轴扭转变形与刚度计算 剪切与挤压的实用计算 思考与练习
Ip =
πd 4
32
空心圆截面： 空心圆截面：
Ip =
πd 4
32
(1 − α )
4
d α= D
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
圆轴扭转的切应力与强度计算
由上图可知：在圆轴横截面上，当ρ=0时，τ=0；当ρ=R时， 即圆轴横截面上边缘上点的切应力为最大值τmax，且切应力沿半 径方向呈线性增长。其最大切应力τmax为：
(c)
T′+Ｍ2-M3=0
T′=M3-M2
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
外力偶矩、扭矩与扭矩图 外力偶矩、
2.扭矩和扭矩图 扭矩和扭矩图
Me T (a) (＋) x (b) n T Me n x (＋)
扭矩方向规定
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
外力偶矩、扭矩与扭矩图 外力偶矩、
2.扭矩和扭矩图 扭矩和扭矩图 扭矩的求法：假截留半，内力代换， 扭矩的求法：假截留半，内力代换，内外平衡
M
M
D
例3-6图 图
d
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 解 ： (1) 按轴的扭转强度求许可载荷。 πD 3 π × 403 Wp = (1 − α 4 ) = = 5298.75mm 3 16 16 T ≤ [τ ] T ≤ W p [τ ] τ= Wp
M max = Tmax = W p [τ ] = 5298.75 × 40 = 211 950 N ⋅ mm = 211.95 N ⋅ m
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
圆轴扭转的切应力与强度计算
T T
τ max
τρ
τ max
O
横截面上任意一点的切应力与该点到轴心的距离成正比，其方向与半径 垂直，可以证明横截面上任意一点的切应力计算公式为：
τρ=Tρ/Ip
式中，Ip为横截面对圆心 点的极惯性矩 为横截面对圆心O点的极惯性矩 点的极惯性矩，按下列公式计算： 实心圆截面： 实心圆截面：
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
传动轴的概念与实例
T
T′
传动轴：用于传递转矩而不承受弯矩，或所承受弯矩很小的轴。 传动轴： 受力特点： 受力特点：传动轴承受作用面与杆件轴线垂直的力偶作用。 变形特点： 变形特点：传动轴各横截面绕轴线发生相对转动，且杆轴线始终保 持直线。任意两横截面间相对转过的角度，称为相对扭 相对扭 转角， 表示。 转角，以φ表示 表示
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
圆轴扭转的切应力与强度计算
在轴的右端施加一个力偶 矩M使其产生扭转变形，可 观察到如下现象： ①圆周线的形状和大小 不变， 不变，相邻两圆周线的间 距保持不变， 距保持不变，仅绕轴线作 相对转动。 相对转动。 ②纵向线均倾斜了一角 度。
横截面不存在正应力，而仅有垂直于半径方向的切应力。 横截面不存在正应力，而仅有垂直于半径方向的切应力。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
(a)
1 MA MB
2 MC
【例3-3】 已知一传 】 动 轴 如 图 (a) 所 示 ， 主动轮A上输入功率 为15 kW， B 、 C轮 为输出轮，输出轮B 上输出功率为10 kW， 轴 的 转 速 为 n=1000 r/min 。 试 求 各 段 轴 横截面上的扭矩， 并绘出扭矩图。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
思考与练习
3.1 减速箱中，高速轴直径大还是低速轴直径大？为什么？ 3.2 若将圆轴的直径增大一倍，其他条件不变，则τmax和φmax 各有何变化? 3.3 在强度条件相同的情况下，空心轴为什么比实心轴省料？ 3.4 试画出练习3.4图中横截面上与T对应的切应力分布图。
τ max
6000 = = 17.69 MPa < [τ ] 3 π × 0.12 16
(a)
则强度足够。 (3) 校核BC段的强度。
τ max
2000 = = 19.90 MPa < [τ ] 3 π × 0.08 16
(b)
则强度足够。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 【 例 3-5】 某 机 器 传 动 轴 由 45 号 钢 制 成 ， 已 知 材 料 的 ［ τ ］ 】 =60MPa，轴传递的功率P=16 kW，转速n=100 r/min，试确定其 直径。 解: (1) 计算外力偶矩和扭矩。
2 2000N·m 1 500N·m (a) B A 2 1 500N·m T1 2 T2 (c) 2 T(N·m) 500N·m O x (d) B C 2000N·m 1 500N·m (b) 1 C