B
D
O
E
C
又∵AB=AC（已知）
∴AB-AD=AC-AE即BD=CE（等式性质）
已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D 求证：AC=AD
证明： 在△ABD和△ABC中
牛刀小试
D
∠1=∠2 （已知）
∠D=∠C（已知） AB=AB（公共边）
A
1 2
B
∴△ABD≌△ABC （AAS） ∴AC=AD 边相等） （全等三角形对应
如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，
求证：△AEB ≌ △ ADC。
证明：∵BD=CE
A
∴ BD-ED=CE-ED，
即BE=CD。 在AEB和ADC中， AB=AC AE=AD BE=CD ∴ △AEB ≌ △ ADC (sss)
B
E
D
C
牛刀小试
如图，AC=BD，∠CAB=∠DBA，你 能判断BC=AD吗？说明理由。 证明: 在△ABC与△BAD中 C D B
三、方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
找第三边 (SSS)
（1）：已知两边----
找夹角
（SAS)
找是否有直角 (HL) 找这边的另一个邻角(ASA) 已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角--已知一边和它的对角 找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS) 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS) 找一角(AAS) 已知角是直角，找一边(HL) (3):已知两角---
A
A B C B
C
三角形的外角与内角的关系
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
考点：三角形内角和定理：
1 1 例3 △ABC中，∠B= ∠A= 4 ∠C，求 3 △ABC的三个内角度数.
解：设∠B=xº，则∠A=3xº ，∠C=4xº，
从而:x+3x+4x=180º ，解得x=22.5º ． 即：∠B=22.5º ，∠A=67.5º ，∠C=90º ．
(1) 按角分
三角形

锐角三角形 钝角三角形 直角三角形
(2) 按边分
三角形

三边都不相等的三角形 等腰三角形

底边和腰不等的等腰三角形
等边三角形
2．三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形的任意两边之差小于第三边.
两边之差<第三边<两边之和
练一练
下列条件中能组成三角形的是（ A、 5cm, 13cm, 7cm B、 3cm, 5cm, 9cm C、 14cm, 9cm, 6cm D、 5cm, 6cm, 11cm
C
OD＝OE ∠DOF＝∠EOF OF＝OF
E
B
∴△OFD≌△OFE（SAS） ∴DF＝EF
7.如图，在△ABC中，AB＝2AC， AD平分∠BAC且AD＝BD. 求证：CD⊥AC.
（提示：过点D作DE⊥AB于E 分两步证明： ①△ADE≌△BDE； ②△ADE≌△ADC）
B A E
D
C
8.如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC 且AD＝BD. 求证：CD⊥AC.
O 1 图1 2 C
三角形木架的形状不会改变,而 四边形木架的形状会改变.这就是说 ,三角形具有稳定性,而四边形没有 稳定性。
了解一下
可表示为：五边形ABCDE或 五边形AEDCB
A 内角 E 外角
B

D C
对角线：连接多边形不相邻的两个顶 点的线段。
对角线
n边形内角和、外角和、对角线
四边形 五边形 六边形 n 边形
三角形全等的判定
角平分线上点到两边的距离相等 到角两边的距离相等的点在角平分线上
知识回顾：
包括直角三角形
一般三角形 全等的条件：
解题 中常 用的 4种 方法
1.定义（重合）法； 2.SSS； 3.SAS； 不包括其它形 状的三角形 4.ASA； 5.AAS. 直角三角形 全等特有的条件： HL.
牛刀小试
A
C
∴△ADE≌△ADC（SAS）
∴∠C＝∠AED＝90° ∴CD⊥AC
第十三章 轴对称
归纳与整理
用坐标表示轴对称 轴对称图形 轴对称 两个图形关于 某条直线对称 性质 判定 等腰三角形
特 殊
轴 对 称
性质
等边三角形
37
知识回顾： 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形
A
轴对称
A'
图形
B
新人教版八年级上册 期末总复习
第十一章 第十二章 地十三章 地十四章 第十五章 三角形 全等三角形 轴对称 整式的乘法与因式分解 分式
三角形知识结构图
三角形的定义、分类 三角形的边 与三角形有 关的线段 高 中线 角平分线
三 角 形
与三角形有 关的角
三角形内角和
三角形外角和
内角与外角关系
２. 三角形的分类
图 形
过一个顶 点的对角 线条数 分成的三 角形个数 内角和 外角和
1 2
2×1800 3600
2
3
3×1800
3 4
3600
n-3
n-2
3600
4×1800 (n-2)×1800
3600
第十二章 全等三角形
知识结构
全等形 解决问题 全等三角形
对应边相等 对应角相等
（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）
AC=BD ∠CAB=∠DBA
A
AB=BA
∴△ABC≌△DEF（SAS）
牛刀小试
如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相 A 交于点O，AB = AC，∠B = ∠C. 求证：BD = CE
证明 ：在△ADC和△AEB中
∠A=∠A（公共角） AC=AB（已知） ∠C=∠B（已知） ∴△ADC≌△AEB（ASA） ∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）
C
牛刀小试
已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD,垂足分别为C,D,AD=BC, 求证： BD=AC.
证明：∵ AC⊥BC, AD⊥BD
∴∠C=∠D=90° 在Rt△ABC和Rt△BAD中 D C
AB BA BC AD
A
B
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL) ∴BD=AC
考点：三角形内角和定理：
例4 如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°， ∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（ ） A. 95° B. 120° C. 135° D. 650 A
分析与解： ∠O=180°-（∠OBC+∠OCB） =180°-（180°-（∠1+∠2+∠A） B =∠1+∠2+∠A=135°．
4.如图（4）AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE， △AFD与△ CEB全等吗？为什么？
解：∵AE=CF(已知) ∴AE－FE=CF－EF(等量减等量，差相等) F 即AF=CE 在△AFD和△CEB中，
AF=CE(已证) ∠AFD=∠CEB(已知) DF=BE(已知) ∴△AFD≌△CEB (SAS) B C A D
C ）
三角形的两边为7cm和5cm，则第三边x的 2cm＜X ＜12cm 范围是_____________;
4. 三角形的三条高(或高所在直线)交于一点.（垂心）
锐角三角形三条高交于三角形内部一点； 直角三角形三条高交于直角顶点； 钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部一点.
A F B
A
E D
C
A D C B B E F
C D
5.三角形的三条中线交于三角形内部一点. （重心） 6. 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点（内心） .
三角形的中线
表示法： ① AD是△ABC的 BC上的中线. ② BD=DC=½BC.
A
B
D
C
中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
考点：三角形的三线
例：下列说法错误的是（ B ） A:三角形的三条中线都在三角形内。 B:直角三角形的高线只有一条。 C:三角形的三条角平分线都在三角形内。 D:钝角三角形内只有一条高线。 例：在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中 线 ，高和这边所对角的角平分线，最短的是（ B ） A:中线。 B:高线。 C:角平分线。 D:不能确定。
O
BC＝DE A E C AB＝EC ∴Rt△ABC≌Rt△CED（HL） ∴∠B＝∠DEC ∴∠ACB＋∠DEC＝90° ∴∠COE＝90° 又∵∠A＝90° ∴∠ACB＋∠B＝90° ∴DE⊥BC
5.如图，OC是∠AOB的平分线，P 是OC上一点，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，F是OC上的另外一 点，连接DF、EF. A D 求证：DF＝EF. F C
OB=OC
AO=AO ∴ Rt△ABO≌Rt△ACO （HL） C
∴ ∠BAO=∠CAO
∴ AO平分∠BAC
4.如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝EC， BC＝DE，DE、BC交于点O. D 求证：DE⊥BC.
证明：∵AB∥CD ∴∠DCA＝180°－∠A B ＝180°－90°＝90° 在Rt△ABC和Rt△CED中
C
B
C
C'
B'
联系
4、轴对称的性质：
①关于某直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称 轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所 连线段的垂直平分线。 ④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直 平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
练习： 如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两 块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就 能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以， 带那块去合适？为什么？