、每个自然数，都有一个后继；
不是任何自然数的后继；
、若，则；
、自然数的某个集合若含1，而且如果含一个自然数就一定含，那么这个集合含全体自然数。

这五条关于自然数的公理，组成了一个完整的公理体系，习惯上称为皮亚诺公
，它们中的每一个包含在前面的区间内；
的长度趋于零。

这样的一系列区间称为一组区间套。

设数列，总存在一个自然数
称为基本序列。

两个基本序列，对于任意的
和中的每一个数（不乱）
叫做分割的下集，集合叫上集，记为。

且是最小的数，没有最小数，下集，中有最小数。

中没有最小数；
中有最小数，中也没有最小数。

这个分割定义了有理数不是一个有理数（15
综上，a、b 都是5的倍数，那么a/b 就不是最简分数了，与假设矛盾，因此，根号5不是有理数，必定是无理数。

(2
2
1
12
2
+b a
ab
b
a。