如果确实存在异方差，则被有效地消除了； 如果不存在异方差性，则加权最小二乘法 等价于普通最小二乘法
七、案例—例9-2P207
现考虑工人的工资主要由受教育程度和工作年限所影响， 现收集了523个工人的工资、受教育程度、工作年限的数 据，详见表9-2。构建如下回归模型：
wagei B1 B2Edui B3Experi ui
一、异方差的性质---异方差举例
例图9-1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为
Yi=0+1Xi+i
Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入
高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小
i的方差呈现单调递增型变化
例9-1股票交易所经纪人佣金
• Y:佣金额；X：交易额； • Y对X的斜率：佣金率 • 结论：
如果存在异方差性，则表明确与解释变量的 某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有 较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。
当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中 可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有 时可去掉交叉项。
四、异方差的修正：补救措施1-加权最小二乘法wls
模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘 法（Weighted Least Squares, WLS）进行估计。
X越大，对应的方差越小； X越小，对应的方差越大。 • 解读： 经纪公司对大机构投资者收取的佣金率差异小
对小机构投资者收取的佣金率差异大
例9-2 523个工人的工资等数据
• Y:工资；X1：教育程度；X2：工作年限 • 讨论： X1越大，Y的波动越大，扰动项的方差越大； X2越大， Y的波动越大，扰动项的方差越大。
或
Yi Xi
B1
1 Xi
+B2
Xi Xi
+
i
Xi
B2
B1
1 Xi

i
Xi
Xi +
i
Xi
加权最小二乘法wls 不拒绝原假设：不存在异方差
wagei 0 1 edui 2 experi ui
wagei edui
0
1 edui
1
edui edui
1 edui
则Var
ui edui


1 edui
Var ui
1 edui
2 i

1 edui
edui
2
2
wagei edui
0
1 edui
1
edui edui

2

experi edui

ui edui
Var(i )

E(i )2
ei2 =f(X ji )+i
ei2 B1 +B1 X i +Vi
Lnei2 B1 +B1LnX i +Vi
ei2 B1+B1Yˆi +Vi ……
H0 : B2 0; H1 : B2 0
若拒绝原假设，则说
明 ei2与f(Xi ) 之间
是统计显著的，即存 在异方差。
在此没有取对数，why?
如果nR2的值大于该临界值，即其对应的p值小于显著性水平， 则拒绝原假设：不存在异方差。 如果nR2的值小于该临界值，即其对应的p值大于显著性水平， 则不拒绝原假设：不存在异方差。
因为0.0246小于5%，所以有：在5%的显著性水平下，拒绝原假 设。即说明原模型存在异方差。
利用P213平方根变换进行异方差校正。先生成教育水平的平方根序 列-eq02（9-25）
如果nR2的值大于该临界值，则拒绝原假设：不存在异方差。
如果nR2的值小于该临界值，则不拒绝原假设：不存在异方差。
n R2 523 0.0214742202987217=11.231
0.046987 拒绝原假设，说明原模型存在异方差。
说明
辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的 显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释 变量的更高次方。
怀特建立了一种估计方法，该方法考虑了异方差的存在，调 整了估计量的方差和标准误，在大样本下，OLS估计量渐进 有效。
因此，大样本下，怀特方法进行标准误的校正，OLS估 计量线性无偏，渐进有效。
注意：
在实际操作中人们通常采用如下的经验 方法：
不对原模型进行异方差性检验，而是直接 选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据 作样本时。
二、异方差性的后果
1、 OLS估计量线性、无偏，但不具有有效性 。
2、 扰动项方差的估计值不再是真实扰动项方差的 无偏估计，因而OLS估计量的方差通常是有偏的。
3、变量的显著性检验失去意义，建立在t分布和F 分布之上置信区间和假设检验不再可靠。
三、异方差性的诊断-如何知道存在异方差问题？
一些诊断工具 ： • 1、问题的性质 • 2、残差的图形检验 • 3、帕克检验（Park test） • 4、格莱泽检验（Glejser test） • 5、怀特的一般异方差检验（White General
(eq01)
ei2

A0 +A1 X1i +A2 X 2i

A3
X
2 1i

A4
X
2 2i

A5 X1i X 2i
Vi
(eq02)
Step3:因为，可以证明，在同方差假设下：
n是样本容量R2为eq02的可决系数， h为eq02中解释变量的个数
Step4:所以，选择好显著性水平，可知卡方分布的临界值。
重新设定模型修正异方差：设定为双对数模型。-eq04（9-29）
利用怀特方法进行标准差和t值的校正。-eq05（9-30）
利用怀特的一般异方差检验-检验是否存在异方差。 Eq01基础上操 作（9-16）
利用怀特的一般异方差检验-检验是否存在异方差。 Eq01基础上操 作（9-16）
H0 : 模型不存在异方差；H1 : 模型存在异方差
通常出现在截面数据中
一、异方差的性质---异方差类型
同方差性假定：i2 = 常数 f(Xi) 异方差时： i2 = f(Xi)
异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
拒绝原假设，说明原模型存在异方差。
2、格莱泽(Glejser)检验
ei =f(X ji )+i
ei B1+B1Xi +Vi
ei B1+B1 Xi +Vi
1
ei

B1 +B1

Xi
+Vi
H0 : B2 0; H1 : B2 0
若拒绝原假设，则说
明 ei2与f(Xi ) 之间
趋势（即不在一个固定的带型域中）
(2)X- e~i2 的散点图进行判断
看是否形成一斜率为零的直线
e~i 2
e~i 2
X 同方差
X 递增异方差
e~i 2
e~i 2
X 递减异方差
X 复杂型异方差
（3）残差平方和对Y的估计值作图，则不用对每个X作图
2、帕克(Park)检验与格莱泽(Glejser)检验
Heteroscedasticity Test） • 6、异方差的其他检验方法
三、异方差性的诊断
• 诊断思路：
由于异方差性就是相对于不同的解释变量 观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：
检验异方差性，也就是检验随机误差项的 方差与解释变量观测值之间的相关性及其相 关的“形式”。
问题在于用什么来表示随机误差项的方差 一般的处理方法：
X 2i

k
新模型中，存在
f
1 (X
ji )
X ki

f
1 (X
ji
)
i
Var (
f
1 (X
ji
)
i
)

E(
f
1 (X
ji )
i )2

f
(
1 X
ji
)
E(i
)2
2
即满足同方差性，可用OLS法估计。
加权最小二乘估计量
四、异方差的修正：补救措施1-加权最小二乘法wls
Yi B1 +B2 X i +i
加权最小二乘法的基本思想：
加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一 个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估 计其参数。
Wiei2
Wi [Yi

(ˆ0

ˆ1 X1

ˆk
Xk
2
)]
在采用OLS方法时:
对较小的残差平方ei2赋予较大的权数， 对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。
在P217中，若 i2已知，则模型两边直接除以 i
Yi
i
1
B1 i
+B2
Xi
i
+ i i
在P218中，若 i2未知，通常猜测
f(X
ji
)=X 或X
i
i
2；即E(i2
)


2Xi或E(i
2
)


2X i
2
Yi Xi
B1
1 Xi +B2
Xi + Xi
i
Xi
B1
1 Xi +B2
是统计显著的，即存 在异方差。
拒绝原假设，说明原模型存在异方差。
3、怀特（White）检验-怀特检验适合任何形式的异方差