竖直平面内的圆周运动（绳、杆模型）学习目标：1、加深对向心力的认识，会在绳、杆两类问题中分析向心力的来源。

2、知道两类问题的“最高点”、“最低点”临界条件。

注意知识点：1、对于物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常分析两种模型：绳模型、杆模型。

两种模型过最高点的临界条件不同，其实质原因主要是：（1）“绳”（或圆轨道内侧）不能提供支撑力，只能提供拉力。

（2）“杆”（或在圆环状细管内）既能承受压力，又能提供支撑力。

一、绳模型：如图所示小球在细绳的约束下，在竖直平面内做圆周运动，小球质量为m，绳长为R，1、在最低点时，对小球受力分析，小球受到重力、绳的拉力。

由牛顿第二定律得：向心力由重力mg和拉力F的合力提供：F-mg =2vmR 得：F =mg+2vmR在最低点拉力大于重力2、在最高点时，我们对小球受力分析如图，小球受到重力、绳的拉力。

可知小球做圆周运动的向心力由重力mg和拉力F共同提供：F+mg =2vmR在最高点时，向心力由重力和拉力共同提供， v越大，所需的向心力越大，重力不变，因此大力就越大；反过来，v越小，所需的向心力越小，重力不变，因此拉力也就越小。

如果v不断减小，那么绳的拉力就不断减小，在某时刻绳的拉力F就会减小到0，这时小球的向心力最小F向=mg，这时只有重力提供向心力。

故：（1）小球能过最高点的临界条件：绳子（或轨道）对小球刚好没有力的作用，只有重力提供向心力，小球做圆周运动刚好能过最高点。

mg =2vmR v临界=Rg（2）小球能过最高点条件：v≥Rg（当v >Rg时，绳对球产生拉力或轨道对球产生压力，向心力由重力和绳的拉力共同提供）（3）不能过最高点条件：v <Rg（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）二、杆模型：如图，小球在轻杆的约束下在竖直平面内做匀速圆周运动，小球质量为m，杆长为R，1、在最低点时，对小球受力分析，向心力的来源是向心力由重力mg和拉力F的合力提供，由牛顿第二定律得：F+mg =2vmR在最低点情况和绳模型一样有可能是拉力，也可能是支 2、在最高点时，我们对小球受力分析如图,杆的弹力FN持力。

（1）若杆的作用力为支持力；受力分析：小球受竖直向下的重力和竖直向上的支持力列牛顿第二定律： mg -F=2vmR（2）若杆的作用力为拉力；受力分析：小球受竖直向下的重力和竖直向下的拉力列牛顿第二定律： mg+F=2vmR（3）若杆的作用力为零时，小球仅受竖直向下的重力；列牛顿第二定律： mg =2v m R (4)小球在最高点速度为零时，杆的支持力大小等于重力，小球的向心力为零。

注：小球在圆形管道内运动过圆周最高点的情况与此相同。

故杆或者圆形管道内运动过圆周最高点的情况可总结为：（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg （F 为支持力）（2）当0< v <Rg 时，F 随v 增大而减小，且mg > F > 0（F 为支持力）（3）当v =Rg 时，F =0（4）当v >Rg 时，F 随v 增大而增大，且F >0（F 为拉力）例1．长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度0v ，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是 （ ）A ．球过最高点时，速度为零B ．球过最高点时，绳的拉力为mgC ．开始运动时，绳的拉力为2v m L D ．球过最高点时，速度大小为Lg 解析：开始运动时，由小球受的重力mg 和绳的拉力F 的合力提供向心力，即20v F mg m L -=，20v F m mg L=+，可见C 不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，2v mg m L=，v Lg =，所以，A 、B 、C 均不正确。

故选：D例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是 （ ）A ．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零B ．球过最高点时，最小速度为RgC ．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反D ．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力解析：小球用轻杆支持过最高点时，0v =临，故B 不正确；当v Rg =时，F = 0故A 正确。

当0< v <Rg 时，mg > F > 0，F 为支持力故D 正确。

当v >Rg 时，F >0，F 为拉力，故C 不正确。

故选：A 、D例3．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg ，绳长L = 40cm ，求：（１）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？（２）桶在最高点速率v = 3m/s 时，水对桶底的压力？解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需的向心力。

即：20v mg m R≤，则最小速率00.410v Rg ==⨯m/s = 2m/s （2）水在最高点速率大于v 0 时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为F，由牛顿第二定律有F+ mg=2vmR， F =2vmRmg= 6.25N，由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力F/＝F = 6.25N，方向竖直向上。

巩固练习1．汽车以—定速率通过拱桥时，下列说法中正确的是 ( )A．在最高点汽车对桥的压力大于汽车的重力 B．在最高点汽车对桥的压力等于汽车的重力C．在最高点汽车对桥的压力小于汽车的重力 D．汽车以恒定的速率过桥时，汽车所受的合力为零2．乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是（）A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来B．人在最高点时对座仍可能产生压力，但压力一定小于mgC．人在最低点时对座位的压力等于mgD．人在最低点时对座位的压力大于mg3．把盛水的水桶拴在长为L的绳子一端，使水桶在竖直平面做圆周运动，要使水在水桶转到最高点时不从水桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是( )4．如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为gLD．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力5．一轻杆一端固定一质量为M的小球，以另—端为轴在竖直面内做圆周运动。

小球运动到最高点时，关于小球受力，下列说法中正确的是 ( )A．轻杆对小球的作用力不可能向下 B．轻杆对小球的作用力不可能为零C．轻杆对小球的作用力和小球重力的合力提供向心力 D．小球所受的向心力不可能为零6．如图所示，长为L的轻杆，一端固定着一个小球，另一端可绕光滑的水平轴转，使小球在竖直平面内运动，设小球在最高点的速度为v，则 ( )A．v的最小值为gLB．v若增大，向心力也增大C．当v由gL逐渐增大时，杆对球的弹力也增大D．当v由gL逐渐减小时，杆对球的弹力也逐渐减小7．如图所示，小球m 在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有 ( )A ．小球通过最高点的最小速度为v Rg =B ．小球通过最高点的最小速度为0C ．小球在水平线ab 以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力D ．小球在水平线曲以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力8．如图所示，一质量为m 的木块从光滑的半球形的碗边开始下滑，在木块下滑过程中A ．它的加速度方向指向球心B ．它所受合力就是向心力C ．它所受向心力不断增大D ．它对碗的压力不断减小9．如图所示，小物体位于半径为R 的半球顶端，若给小物体以水平初速度v 0时，小物体对球顶恰无压力，则 ( )A ．物体立即离开球面做平抛运动B ．物体落地时水平位移为2RC ．物体的初速度0v gR =D ．物体着地时速度方向与地面成45°角10．杂技演员在表演水流星节目时，盛水的杯子在竖直平面内做圆周运动，当杯子到最高点时，里面水也不流出来，这是因为 ( )A．水处于失重状态，不受重力的作用了 B．水受平衡力作用，合力为0 C．水受的合力提供向心力，使水做圆周运动 D．杯子特殊，杯底对水有吸力11．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点不脱离轨道的临界速度为v，则当小球以2v速度经过最高点时，小球对轨道压力的大小为 ( ) A．0 B．mg C．3mg D．5mg12. 杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，求：（1）最高点水不流出的最小速率；（2）水在最高点速率v＝3 m/s时，水对桶底的压力。

13. 长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图5所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m／s，g取10m／s2，则此时细杆OA受到A。