定的； 则系统平衡状态为不稳定。
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2. 李雅普洛夫第一法
利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性，即间接法。
定理1 对线性定常系统 x Ax , x(0) x0 , t 0, 有：
系统的每一平衡状态是在李雅普洛夫意义下稳定的充要 条件为：A 的所有特征值均具有非正实部，且具有零实 部的特征值为单根；
李雅普洛夫第二法
定理 5 （系统不稳定判定） 对时变或定常系统，
如果存在一个具有连续一阶（偏）导数的标量函数 V(x,t), 或V(x), （其中V(0,t) = 0, V(0) = 0），对于状态空 间中围绕原点的某个域的一切 x和一切 t > t0 满足： V(x,t)正定且有界，或V(x)为正定的； V(x,t)对时间 t 的导数正定且有界， V(x)的导数为正
系统的唯一平衡状态 xe=0 是渐近稳定的充要条件为：A 的所有特征值均具有负实部。
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3. 李雅普洛夫第二法
又称直接法，引入一个能量函数（即李雅普洛夫 函数），利用该函数及其导数函数的符号特征直接 对平衡状态的稳定性做出判断。 能量函数总大于零； 对稳定系统，能量函数具有衰减特性，即能量函数 的导数应小于零。
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李雅普洛夫第二法
定理2 对连续时间非线性时变自由系统
x f ( x,t) , t t0 其中f (0, t) = 0为系统的平衡状态。如果存在一个对x 和 t 具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t), V(0,t) = 0, 且满 足如下条件：
V(x)为正定的；
V(x)的导数为半负定的；
对任意 x X , V( x(t; x0 ,0))
当 x 时, V (x)
不恒为0 ；
则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。
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对线性系统，如果是渐近稳定的，则必定是 大范围渐近稳定的。
非线性系统的稳定性往往与初识条件有关。
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李雅普洛夫意义下的稳定性
不稳定性
如果对于某个实数ε> 0和任一实数 δ> 0，不管其多 么小，在S(δ)内总存在一个状态x0，使得由该状态出 发的轨迹超出S(ε)，则平衡状态xe称为是不稳定的。
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李雅普洛夫意义下的稳定性
李雅普洛夫意义下的稳定性
对平衡状态xe，初始状态 x0，
x0 xe , t t0
若对任意规定ε，在 t →0过程中， 满足：
x(t; x0,t0) xe , t t0
则平衡点 xe 是在李雅普洛夫意 义下是稳定的。 δ与ε有关，通常也与 t0有关。 如果δ与t0无关，则为一致稳定。
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李雅普洛夫意义下的稳定性
渐近稳定
设平衡点 xe 是在李雅普洛夫意义 下是稳定的，同时满足
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其中f (0) = 0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函 数V(x), V(0) = 0, 对于状态空间的一切非零x 满足：
李雅普洛夫第二法
定理3 对定常系统 x f ( x) , t 0
其中f (0) = 0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量 函数V(x), V(0) = 0, 对于状态空间的一切非零x 满足： V(x)为正定的； V(x)的导数为负定的；
当 x 时, V (x)
则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。
lim
t
x(t; x0 , t0 ) xe
0
则称该平衡状态是渐近稳定的。
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李雅普洛夫意义下的稳定性
大范围（全局）渐近稳定
当初始条件扩展至整个状态空间，平衡状态 均具有渐近稳定性，称为大范围（全局）渐 近稳定。
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自适应控制理论基础
一 李雅普洛夫稳定性理论 二 动态系统的正实性 三 超稳定性理论
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一 李雅普洛夫稳定性理论
1. 李雅普洛夫意义下的稳定性 2. 李雅普洛夫第一法 3. 李雅普洛夫第二法 4. 线性定常系统李雅普洛夫稳定性分析
V(x,t)正定且有界，即有 x V (x,t) x 0
V(x,t)对时间 t 的导数负定且有界，即有V(x,t) r x 0
当 x 时， x , V (x,t)
则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。
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1. 李雅普洛夫意义下的稳定性
x f (x,t) 平衡状态
满足 xe f ( xe , t) 0
即x不再随时间变化
对线性定常系统： x Ax
其平衡状态满足 Axe 0
当A 非奇异，只有唯一零解（即零状态）； 当A 奇异，有无穷多个平衡点。 对非线性系统，可能有一个或多个平衡状态。