2017考研数学二真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。

)(B 21-=ab 。

)(C 0=ab 。

D (2=ab 。

【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。

（2）设二阶可导函数)(x f 满足1)1()1(=-=f f ，1)0(-=f ，且0)(>''x f ，则（ ）)(A ⎰->110)(x f 。

)(B ⎰-<110)(x f 。

)(C ⎰⎰->101)()(dx x f x f 。

)(D ⎰⎰-<11)()(dx x f x f 。

【答案】)(B【解】取12)(2-=x x f ，显然⎰-<110)(x f ，应选)(B 。

（3）设数列}{n x 收敛，则 （ ）)(A 当0sin lim =∞→n n x 时，0lim =∞→n n x 。

)(B 当0)||(lim =+∞→n n n x x 时，0lim =∞→n n x 。

)(C 当0)(lim 2=+∞→nn n x x 时，0lim =∞→n n x 。

)(D 当0)sin (lim =+∞→n n n x x 时，0lim =∞→n n x 。

【答案】)(D【解】令A x n n =∞→lim ，由0sin )sin (lim =+=+∞→A A x x n n n 得0=A 。

（4）微分方程)2cos 1(842x e y y y x +=+'-''的特解可设为=*y （ ）)(A )2sin 2cos (22x C x B e Ae x x ++。

)(B )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。

)(C )2sin 2cos (22x C x B xe Ae x x ++。

)(D )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。

【答案】)(C【解】特征方程为0842=+-λλ，特征值为i 222,1±=λ。

对方程xe y y y 284=+'-''，特征形式为xAey 21=；对方程x ey y y x2cos 842=+'-''，特解形式为)2sin 2cos (22x C x B xe y x +=，故方程)2cos 1(842x e y y y x+=+'-''的特解形式为 )2sin 2cos (22x C x B xe Aey x x++=*，应选)(C 。

（5）设),(y x f 具有一阶偏导数，且对任意的),(y x 都有0),(,0),(<∂∂>∂∂yy x f x y x f ， 则 （ ）)(A )1,1()0,0(f f >。

)(B )1,1()0,0(f f <。

)(C )0,1()1,0(f f >。

)(D )0,1()1,0(f f <。

【答案】)(D 【解】0),(>∂∂xy x f 得),(y x f 关于x 为增函数，从而),0(),1(y f y f >； 由0),(<∂∂yy x f 得),(y x f 关于y 为减函数，从而)1,()0,(x f x f >， 由),0(),1(y f y f >得)0,0()0,1(f f >；由)1,()0,(x f x f >得)1,0()0,0(f f >，故)1,0()0,1(f f >，应选)(D 。

（6）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线)(1t v v =（单位：s m /），虚线表示乙的速度曲线)(2t v v =，三块阴影部分面积的数值依次为3,20,10，计时开始后乙追甲的时刻为0t （单位：s ），则（ ） )(A 100=t 。

)(B 20150<<t 。

)(C 250=t 。

)(D 250>t 。

【答案】 【解】（7）设A 为3阶矩阵，),,(321ααα=P 为可逆矩阵，使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2000100001AP P ，则=++)(321αααA （ ）)(A 21αα+。

)(B 322αα+。

)(C 32αα+。

)(D 312αα+。

【答案】)(B【解】由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2000100001AP P 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000P AP ，于是()323232121112,,0111200010000111)(ααααααα+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++P AP A ，应选)(B 。

（8）已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200020001,100020012,100120002C B A ，则 （ ）)(A A 与C 相似，B 与C 相似。

)(B A 与C 相似，B 与C 不相似。

)(C A 与C 不相似，B 与C 相似。

)(D A 与C 不相似，B 与C 不相似。

【答案】)(B【解】C B A ,,的特征值为1,2321===λλλ，由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1001000002A E 得1)2(=-A E r ，则A 可相似对角化，从而C A ~；由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1000000102B E 得2)2(=-B E r ，则B 不可相似对角化，从而B 与C A ,不相似，应选)(B 。

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） （9）曲线)2arcsin 1(xx y +=的斜渐近线为________。

【答案】2+=x y 。

【解】1)2arcsin 1(lim lim=+=∞→∞→xx y x x ，2112arcsin 1lim )(lim =-+=-∞→∞→xx x y x x ，斜渐近线为2+=x y 。

（10）设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧=+=t y e t x t sin ,确定，则____|022==t dx yd 。

【答案】81-。

【解】tet dt dx dt dy dx dy +==1cos //， 32022)1(cos sin )1(1)1(cos )1(sin /)1cos (|t t t t t t t t t e t e t e e e t e e t dt dx e td dx y d +++-=++-+-=+==， 则81|022-==t dx y d 。

（11）________)1()1ln(02=++⎰+∞dx x x 。

【答案】2。

【解】)11()1ln()1()1ln(02⎰⎰+∞+∞++-=++x d x dx x x 2|111)1(1|1)1ln(0020=+-=++++-=∞++∞∞+⎰x dx x x x （12）设函数),(y x f 具有一阶连续的偏导数，且dy e y x dx ye y x df yy)1(),(++=，0)0,0(=f ，则_______),(=y x f 。

【答案】yxye【解】由)()1(),(yyyxye d dy e y x dx ye y x df =++=得C xye y x f y +=),(，再由0)0,0(=f 得0=C ，故yxye y x f =),(。

（13）_______tan 110=⎰⎰y dx x xdy 。

【答案】1cos ln -【解】1cos ln |cos ln tan tan tan 1010010110-=-===⎰⎰⎰⎰⎰x xdx dy dx xx dx x x dy x y 。

（14）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11321214a A 的一个特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211，则________=a 。

【答案】1-=a 。

【解】由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21121111321214λa 得⎩⎨⎧=+=λλa 23,1，解得1-=a 。

三、解答题（15）（本题满分10分）求30lim xdt e t x xt x ⎰-+→。

【解】⎰⎰⎰--=-==-xu x xu x ut x xtdu e u e du e u dt e t x 00，则303030limlim limxdu e u xdu e u e xdt e t x xu x xux x xtx ⎰⎰⎰-+→-+→+→=⋅=-3223lim 0==-+→x e x x x 。

（16）（本题满分10分）设函数),(v u f 具有二阶连续的偏导数，)cos ,(x e f y x=，求0|=x dxdy，022|=x dx y d 。

【解】21sin f x f e dx dy x '⋅-'=，)1,1(|10f dxdyx '==； )sin (sin cos )sin (222121211122f x f e x f x f x f e e f e dxy d xx x x ''⋅-''-'⋅-''⋅-''+'=， 则)1,1()1,1()1,1(|2111022f f f dx yd x '-''+'==。

（17）（本题满分10分）求∑=∞→+nk n n k n k 12)1ln(lim。

【解】⎰∑∑+=+=+=∞→=∞→10112)1ln()1ln(1lim )1ln(lim dx x x n knk n n k n k n k n nk ndx xx x x x d x ⎰⎰++--+=+=10210210211)1(21|)1ln(21)()1ln(21412ln 2121412ln 21)111(212ln 2110=-+-=++--=⎰dx x x 。

（18）（本题满分10分）已知函数)(x y 由方程023333=-+-+y x y x 确定，求)(x y 的极值。

【解】023333=-+-+y x y x 两边对x 求导得0333322='+-'+y y y x ，令0='y 得1,121=-=x x ，对应的函数值为01=y ，12=y ； 0333322='+-'+y y y x 两边再对x 求导得0336622=''+''+'+y y y y y x ，由02)1(>=-''y 得1-=x 为极小点，极小值为0=y ； 由01)1(<-=-''y 得1=x 为极大点，极大值为1=y 。