)2
3 2
y
y
由于小变形 (dy )2 1 dx
d2y dx2 0
d2y dx2
0
1 d2y
(x) dx2
d2y M x
dx2 EIz
即:
d2 y dx2
M (x) EI z
——称为挠曲线 近似微分方程
7.3 用积分法求梁的变形
挠曲线近似微分方程：
边界条件
d2y M x
dx2 EIzy1 EI z ql12x3
q 24
x4
ql 3 24
x
例3 已知：EI, q, l。 求：挠度及转角方程，|y|max、|θ|
4、求最大挠度和最大转角；
y
q
max ymax
A
B
dy dx
1 EI z
ql 4
x2
q 6
x3
ql 3 24
0
FA
x A
B
l
x
FB
当x l 时 y 5ql4
y
MA A x
m ax
l
P
m ax
Bx ymax
（2）列挠曲线近似微分方程并积分
FA
d2 y dx2
M x
EI
P EI
(l
x)
dy P (lx 1 x2 ) C
（4）确定挠度方程及转角方程
P (lx 1 x2 ) (c)
(a)
EI
2
dx EI
2
y P ( 1 lx2 1 x3) Cx D (b)
c B
c C yc B
x
C
x
l
F
特点：连续光滑。
表示：y =f(x)，它是坐标x的连续函数。也称为挠曲线方程。
2、挠度和转角
挠度：梁上任一横截面形心在垂直于轴线方向的位移，用 y 表示；
其符号（正负号）与坐标的正负相同。
转角：横截面绕中性轴转过的角度，用 表示。 符号：在图示坐标系中，转角逆时针转向为正，反之为负。
| y |max [ f ] | |max [ ]
如果超过规定值，即使满足强度要求，也仍然认为已经失效。
7.2 挠曲线的近似微分方程
二、近似微分方程
d2 y
1
平面弯曲时中性层的曲率：
M (x)
由曲率的概念：
(x) EI z
正负号与弯矩 M 正负号约定和坐标系选取的关系：
1 (x)
1
dx2 ( dy dx
—— 梁上约束处的已知变形。
两边对变量 x 积分一次，得
连续性条件——由于挠曲线是
dy
M
x
dx
C ——转角方程
dx
EI z
一条连续而光滑的曲线，因此在 挠曲线的任一点处（如：弯矩方 程的分界处，截面的突变处）左
两边对变量 x 再积分一次，有
右两截面的转角和挠度均相等。
y
M
EI
x
z
dx
dx
简支梁 边界条件： yA 0 yB 0
A
y
连续条件： yC,左截面 yC,右截面
C,左截面
C ,右截面
A
P
B
P
C
x
B
yB lCB
A
yC左 yC右
例2 已知：EI, l, P。求：挠度及转角方程，|y|max、|θ| max
解：（1）求支座反力，列弯矩方程
FA P M A Pl M (x) M A FAx Pl Px
Cx
D
——挠曲线方程 （挠度方程）
对等截面梁，EIz = 常数，则
EIz EIz y M xdx C
式中：C、D 为积分常数，由边界
EIz y M xdx dx Cx D 条件或变形连续性条件确定。
7.3 用积分法求梁的变形
例1：悬臂梁 边界条件： yA 0 A 0
y P ( 1 lx2 1 x3) (d ) EI 2 6
EI 2 6
（5）绘挠曲线图并求最大挠度和转角
（3）由边界条件确定积分常数
在 x = 0 处 A 0 yA 0
yB
Pl 3 3EI
|
y
|max
|
yB
|
Pl 3 3EI
代入（a)、（b）得： C 0 D 0
B
Pl 2 2EI
|
|max
Pb EI z l
| B
|
Pl 2 2EI
例3 已知：EI, q, l。 求：挠度及转角方程，|y|max、|θ| max
解：1、求支座反力，列弯矩方程
y
q
ql FA FB 2
M (x) ql x q x2 22
A x
B x
2、 写出挠曲线微分方程，并积分；
FA
l
FB
y 1 (ql x q x2 )
EI 2 2
7.2 挠曲线的近似微分方程
dy tan tan dy f (x) y
dx
dx
A
即：挠曲线上任一点处切线的斜率等 于该点横截面的转角。
(x) 也称为转角方程。
c B
c C yc B
x
C
x
l
F
在工程中，经常要限制最大挠度和最大转角不得超过规定的数
值[ f ]和[ ]，这样就得到刚度条件如下：
2
384 EI z
说明：
ymax
y
x l 2
5ql4 384 EI z
当结构对称，且载荷对 称时，在对称面上截面
在两端A、B，截面转角数值相等，
转角必为零。
符号相反，绝对值最大：
A
B
ql 3 24EI z
max
ql 3 24EI z
即： 当x l 时,有 2
xl 0 2
例4： 试求图示简梁的弯曲变形（抗弯刚度为：EI z）
第7章 弯曲变形
第 七 章 弯曲变形
第 一 节 概述 第 二 节 挠曲线近似微分方程 第 三 节 积分法求梁的变形 第 四 节 叠加法求梁的变形 第 五 节 梁的刚度条件及提高
梁刚度的措施 第 六 节 简单超静定梁
7.1 概 述
工程中的弯曲变形实例
1、传动轴、机床的主轴 2、长轴的加工
7.1 概 述
3、起重机大梁 4、火车轮轴 5、汽车等用的叠板弹簧
研究弯曲变形的目的： （1）对梁进行刚度计算； （2）求梁的静不定问题。
p
p
2 车辆用叠板弹簧 2
p
7.2 挠曲线的近似微分方程
一、弯曲变形的基本概念
y
1、挠曲线：
A
梁在平面弯曲时，其轴线在载荷作
用平面（纵向对称面）内，变成了一
条曲线，该曲线称为挠曲线。
1 ( ql x2 q x3) C
EI 4 6 y 1 ( ql x3 q x4 ) Cx D
EI 12 24
得挠度和转角方程：
1 EI z
ql 4
x2
q 6
x3
ql 3 24
3、 利用边界条件确定积分常数；
x 0, yA 0 x l, yB 0
D0 C ql3
24EI
解： 1、求支反力、写出弯矩方程；
y
a
Pb
FA Pb / l FB Pa / l
x
AC段：
M1
FA x1
Pb l
x1
0 x1 a
CB段： M2 FAx2 P(x2 a)
A
FA
x1
x2
C
l
B
FB
Pb l
x2
P( x2
a
a)
x2
l
2、 列出挠曲线微分方程，并积分；
AC段：
d2 y1 dx12