250
−qx l⎞ ⎛ 9l 3 − 24lx 2 + 16 x 3 ) ⎜ 0 ≤ x ≤ ⎟ ( 384 EJ 2⎠ ⎝ − ql ⎛l ⎞ y2 = −l 3 + 17l 2 x − 24lx 2 + 8 x 3 ) ⎜ ≤ x ≤ l ⎟ ( 384 EJ ⎝2 ⎠
y1 =
41ql 4 ( x = 0.25l ) 1536 EJ 5ql 4 ⎛l⎞ y⎜ ⎟ = − 768EJ ⎝2⎠
习 题 7-1 用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度EI为常量。
7－1 （a） M( x) = M 0
∴ EJy '' = M 0 1 EJy ' = M 0 x + C EJy = M 0 x 2 + Cx + D 2 边界条件: x = 0 时 y = 0 ； y' = 0
代入上面方程可求得：C=D=0
（c）
l−x q0 l q0 1 3 ⎛l−x⎞ M ( x) = − q( x) ( l − x ) ⎜ ⎟ = − ( l − x) 2 6l ⎝ 8 ⎠ q 3 ∴ EJy '' = 0 ( l − x ) 6l q 4 EJy ' = − 0 ( l − x ) + C 24l q 5 EJy = 0 ( l − x ) + Cx + D 120l y = 0 ； y' = 0 边界条件： x = 0 时 q( x) =
）
（c）解：
q0 x l q x2 EJy ''' = 0 + C 2l q0 x3 '' EJy = + Cx + D 6l q x 4 Cx 2 EJy ' = 0 + + Dx + A 24l 2 q0 x5 Cx 3 Dx 2 ' EJy = + + + Ax + B 120l 6 2 ⎧y=0 ⎧y=0 边界条件： x = 0 ⎨ '' x = l ⎨ '' ⎩y = 0 ⎩y = 0 ql D=0 ∴C = − 0 6 7q l 3 A= 0 B=0 360 EJy '''' =
解：查自重得：
q = 587.02 N / m
J = 15760cm4 Pl 3 5ql 4 f =− − 48EJ 384EJ −176 × 103 × 113 = 48 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 −587.02 × 5 × 114 + 385 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 = 0.0377 m = 3.77cm
M ( x)1 = − qi M ( x) 2 = −
3a 2 + qax ( 0 ≤ x ≤ a ) 2
q 2 ( 2 a − x ) ( a ≤ x ≤ 2a ) 2 3a 2 EJy1'' = − qi + qax 2 3a 1 EJy1' = − qa( x + x 2 ) + C1 2 2 3a 2 1 3 EJy1 = − − qa ( x + x ) + C1 x + D1 4 6 边界条件： x = 0 时 y = 0 ； y' = 0
代入上面方程可求得：C=D=0
∴y =
1 1 1 qx 4 (− ql 2 x 2 + qlx 3 − ) EJ 4 6 24
244
1 1 2 1 1 (- ql x + qlx 2 − qx 3 ) EJ 2 2 6 -1 3 -1 4 θB = ql yB = ql 6EJ 8EJ
θ =y ' =
(d) 解：
D A P P E
' yC = y E + θ B ia + y C
C B P
− P ( 2a ) − Pa 3 − Pa3 = − − 3EJ 3EJ 3EJ 3 −10 Pa = 3EJ
3
252
7-5 门式起重机横梁由4根36a工字钢组成如图所示， 梁的两端均可视为铰支， 钢的弹 性模量E=210Gpa。试计算当集中载荷P＝176 kN作用在跨中并考虑钢梁自重时，跨中截面 C的挠度yC。
245
∴y =
1 3⎞ ⎛1 2 ⎜ Pax − Px ⎟ 6 ⎝2 ⎠ 1 ⎛ 1 2⎞ θ = y' = ⎜ Pax − Px ⎟ EJ ⎝ 2 ⎠
1 EJ
yB = yC + θ C ia = Pa 2 θB = 2 EJ
(e)
Pa 3 Pa 2 5Pa 3 + ia = 3EJ 2 EJ 6 EJ
'' 1
⎛ 5a 2 2 1 3 1 4 ⎞ EJy1 = − q ⎜ x − ax + x ⎟ + C1 x + D1 3 24 ⎠ ⎝ 4 边界条件： x = 0 时 y = 0 ； y' = 0
代入上面方程可求得：C1=D1=0
EJy2 = − q(2a 2 − ax) 1 EJy2' = −q (2a 2 x − ax 2 ) + C2 2 1 EJy2 = − − q (a 2 x 2 − ax 3 ) + C2 x + D2 6 边界条件： x = a 时 y1 = y2 ； y1'' = y2'' 9a 3 6 71 qa 4 yB = − 24 EJ 13 qa 3 θB = − 6 EJ
249
∴y =−
q0 x ( 3x4 − 7l 4 − 10l 2 x 2 ) 360lEJ q0 θ = y' = − 15 x 4 − 30l 2 x 2 ) ( 360lEJ q l4 最大挠度： f = − 0 （ x = 0.5193l ） 153EJ 7 q0l 3 q l3 θA = − θB = 0 360 EJ 45 EJ M ( x)1 = M ( x) 2 =
f =
3ql 3 128EJ 7 ql 3 θB = 384 EJ
θA = −
7-3 已知下列各梁的抗弯刚度EI为常量，试用初参数法求各梁的挠曲线方程，并计算 θC、yC、及θD、yD 。 7-4 计算下列铰接梁在C处的挠度，设梁的抗弯刚度EI为常量。
(a)解：
251
M0 a
M0
A
C
M0 M a2 yc = a × a 3 = 0 3EJ 3EJ
yB = −
(f)
5qa 2 qx 2 + 2qax − (0 ≤ x ≤ a) 2 2 5qa 2 qa ⎛ a⎞ M ( x) 2 = − + 2qax − ⎜ x − ⎟ ( a ≤ x ≤ 2a ) 2 5 ⎝ 2⎠
M ( x)1 = −
⎛ 5a 2 1 ⎞ EJy = − q ⎜ − 2ax + x 2 ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎛ 5a 2 1 ⎞ EJy1' = − q ⎜ x − ax 2 + x3 ⎟ + C1 6 ⎠ ⎝ 2
'' 1
（d） 解：
3qlx qx 2 ⎛ − ⎜0 ≤ x ≤ 8 2 ⎝
l⎞ ⎟ 2⎠
ql l ⎞ (l − x) ⎛ ⎜ ≤ x ≤l⎟ 8 ⎝2 ⎠
3qlx qx 2 EJy = − 8 2 2 3qlx qx 3 EJy1' = − + C1 16 6 3qlx3 qx 4 EJy1 = − + C1 x + D1 48 24 ql EJy2 '' = ( l − x ) 8 ql ⎛ x2 ⎞ EJy2 ' = ⎜ lx − ⎟ + C2 8⎝ 2⎠
代入上面方程可求得： C = (d)
M ( x) = Pa − Px
EJy '' = Pa − Px 1 EJy ' = Pax − Px 2 + C 2 1 1 EJy = Pax 2 − Px3 + Cx + D 2 6 边界条件： x = 0 时 y = 0 ； y' = 0
代入上面方程可求得：C=D=0
7-6 松木桁条的横截面为圆形，跨长为 l =4m，两端可视为简支，全跨上作用有集度为q ＝1.8 kN/m的均布载荷。已知松木的许用应力[ σ ]＝10MPa，弹性模量E=1.0×103Mpa。此 桁条的容许挠度[y]= l /200，试求此桁条横截面所需的直径。 解：此松木条的最大挠度为
1 1 M0 x2 θ =y ' = M0 x 2EJ EJ 1 1 θ B = M 0l yB = M 0l 2 EJ 2EJ 2 q(l − x) 1 qx 2 （b） M( x) = = − ql 2 + qlx − 2 2 2 2 1 qx ∴ EJy '' = − ql 2 + qlx − 2 2 1 1 qx 3 EJy ' = − ql 2 x + qlx 2 − +C 2 2 6 1 2 2 1 3 qx 4 EJy = − ql x + qlx − + Cx + D 4 6 24 y = 0 ； y' = 0 边界条件： x = 0 时 ∴y =
∴ y1 = −
代入上面方程可求得： C2 =
9a 2 6
D2 = −
qa 4 24
y2 =
−q 16 x 4 − 128ax 3 + 384a 2 x 2 − 64a 3 + 16a 4 ) ( a ≤ x ≤ 2a ) ( 384 EJ