故可选取、任(告,,)的值,从而上述极限值为。,符合判断法条件.‘
再看下例
例2讨论介黔d·的敛散性解x一0为被积函数的瑕点。
考虑极限limx‘一InsinX
x~。十
一InsinX
x./10x~。+x一入+9/10
~~_一,_.9/。d,_,9,,.、一一.,~__,、I_翻.~.~、小。策了月又入俩足一入十下下盏之U,肚目入岌下万,田叹火)工、们U~十co,1旦入<、l,故刊别法大义又。1UtU
犷’f(·)d益收敛;
犷一“·,d·发散,
(b一x)人f(x)~d,也有同1)、2)的判别结果。需注意的是定理中
被积函数f(x)是非负的。
上述判别法是通过比较原则导出的,即是在比较原则中,选定g(x)=x一奉或(x一a)一盖作为
比较对象,利用标准积分犷-努或介;粤二XJ.气X一a,(a>0)的敛散性推导得出的。这在分析教材
的黎曼积分的极限来定义的。要判别它们的敛散性,可考虑函数在
其任一内闭子区间上的黎曼可积性,借助积分性质以及积分方法:
换元法、分部积分法等直接计算,对于被积函数是单调函数或含有
周期函数因子的无穷积分,可利用广义积分与级数的关系讨论其
收敛性,即转化为级数的敛散性问题。但是在大多数的情况下.都
是通过使用判别方法、准则来确定,如柯西收敛准则,绝对收敛的
厄一厂万二要不蕊弃
虑石子一x‘海石不;可取、一音
于是,lim
*1‘_丫x+甘7二了._x百-一代不二二二二二二二=~1im
—=VZ一‘/-./,r一-;x~+,x了xVx一Vx一星这里、一合,d一吓,故原积分发散,2,、要判另”瑕积分丈,“·,‘d·(a是瑕点,的敛散性,由极限黑}f(x)}I
x入
,需考虑当x~a干
2)若
证明
一imsnrxA}r(x)!~d>0,且入成l,则,~+.
l)已知lim
犷一,“·,,‘X发散·
supx入if(x)一J<co,且入>l,则V。>o,日x。>a,Vx>x。,有x‘.f
(·).<科￡,即.f(x),<宁,记M一升￡,则M>0,而厂一令当。1时收敛,由比较判别法
可知,犷一f(·)dX绝对收敛;
从而考虑选取、在斋与;之、;
又户补,‘a是瑕点),当‘<,时收敛,就可初步判断有晶<l,
比一19dx
2、在使用判别法时,如果遇到取久(l(或)l)得d二O,取入>l,得d~+co,说明判别法失
效,应当改用其它方法。
如对积分犷一摇汤,(a>。),由极限:呱一忌万-x入一1:二军益(Inx).+co,入>10,O<入提l,不能
推论2:假设下列条件成立:
(l)r(t,y,,…,yN)是强次线性的;(2)条件(H,)一(H、)成立
(3)条件(H。)(或H。)成立,且对充分大的t有g食(t)<t(或g*(t)<:(t))
那么方程(2)的所有解振动的必要与充分条件是(39)成立。
参考文献
[1〕x,oopa一samyandBG劝ang.05记lationandnonoseiuationinfirstorderneutra一d让介rontialegua-
2)已知土乳i”fx‘Ir(x)}=d>0,且入镇l,则v“>o,,.’竺>0,可限制￡,使得0<‘飞,
于是“x。>一使得Vx>x。,有X、,,‘·,,>。一>“,即.,‘·).>宁,而犷一令当、、,
时发散,由比较判别法知厂一f(X).d·发散.证毕
注:l)当百=d时,表明柯西极限判别法中极限存在,于是可得出柯西判别法的极限形式;
4、对判别法极限形式本质的认识
,)、要判另,犷一f(x)}‘·的敛散性,由极限式:竺乳}f(·)./赤,需考虑一+一时,f(·)一”
的速度:当它超过赤一。的速度,而、>1时,该,分收。;当它不超过赤一。的速度,而入、1
时,该积分发散,于是讨论f(x)一O的阶就成为判断积分是否收敛的关键。
例3
解
讨论犷一合·的敛散性考虑lim
tions.J.Mat卜^nal.and^PPI.151(1990),42一57
[2〕l一1andB.0zhang.osei一ationoffirstorderneutraldifferentiazequations^ppz.^nal,39
|日勺心!门
别讨论只一‘与丁广-一xdx,从而得出a>。时,r(a)w敛。但如果用狄利克雷判别法,有.知一‘卜,价.言一如一)!<M(常数),而:蚁告一。,卜(。,+一)单调,
广义积分敛散性判别法的应用
本文讨论的广义积分指无穷积分与瑕积分,即函数在无穷
区间上的积分与无界函数的积分。它们是借助于可变上(或下)限
。___3___.,~~,、,,‘,_
送里入~丁丈1,d~U,砍原积分收双。悦
分析讨论:能否取入一告呢?‘
由极限lim、奋
x~。+
一InX
V下~lim(一inx)~一co,不满足O<入<1,O簇d<十、的条件。x一O+
怎样确定入呢?我们考虑极限limx‘
x~。十
Inx
侧丁~1jm,要使该极限值为有限,而O<久<l,x~。+x专一‘
2)判定出犷一f(x)d·发散、但犷一f(·)d·是否发散或条件收敛,还需另作判断,
3)对瑕积分也有类似定理3的推广形式.在具体应用推广的定理时容易判断广义积分的
敛散性.
例7讨论丁)一学d·的敛散性
安顺师专学报‘自然科学版)1995年第‘期
co,入>l
解由于
,·1e.恤加
1111】X
一
一
{不存在0,入<l,入~1,皿~+.X故柯西判别法失效,改用推广形式,取入一l,这
)仃,a>0,且一smx入f(x)=d(0镇d镇+co)
,)若、>,,0、d<+co,贝。犷一“·)d·收敛;
安,师守攀报(自鹅科攀压》1995年筑4期
1
limx!一工一。+一
,去一一。.这里、一告,d一。,故「:弓些-收敛;
Vxlnx
“
盲Vxlnx
由一im(l一x)
:~l一
1
一侧丁Inx
x一1
11见万下=干甲x~1一VXlnX二l,这里入~l,d=l,
时,f(x)一+,的速度:
大时,积分发散;
当它的阶比,2二(、<;)小时,积分收敛;当它的阶比7牛认(、)1)火义一己产气汽一砚少
例5判别积分
瑕点是
dX
、/丁一。x
dx,,‘,~,.,.
-丁二二一-‘日可叙欲任
VxInx
一l
一,X
.nU
广、厂干!nx+几岸绎,;盯2VXjnX
解八|抑
安.一t攀报‘自价科攀版”9.5年结‘翔
中都有介绍。
在使用判别法时,关键在于如何选取入与d,使得符合判别法的条件,从而得出相应的结
论—收敛或发散。一般来说.这种选取是较为困难的。因此,选取入、d,就成为教学中的难点,在分析教材中的例,都是预见选好了入,求出d,据判别法得出相应结论。具体做习题时,在选取
入后;还要结合考虑x性(x)的极限,当入,d符合判别法条件l)或幻后,才有相应的结论。对入、d
一、‘~_一~二9,‘.,一,.、~、,“00.一,_~_、.~、,_...一~班远取入俩足一入十1下又U,从阅气育,六刀一二二~型。田歹必堵活州月得:二tI、月J
lim一Insinx
七O‘X
妈坑x
”贝丫‘详./l0’’t~O宁品,1imx,.+,“’二L厂犷、’_、工气一人州卜;下,X一川1Ulim:二导.9‘~,人-吧尸二lU吕InX(**)
如对积”方一器‘一有两个奇“”“+一必须考虑且器‘·与厂一器‘:然””
别讨论。
另由狄利克雷判别法可知积分收敛。
事实上,.几一、dx}-:siox一’sinA’‘’,而六在(0,十二)单调,且Iim十一。+。Vx人0
又如oamma函数:P(a)=x~’e一xdx,+oo是奇点脚<1时,x=。是奇点,故必须分
确定积分的敛散性·但用定义可得犷一蔽备一‘呱广蔽器歹一‘呱户豁
t工一
易不石
InA+co,0<a(1
0,a>l
于是,当a>1时,原积分收敛,当O<a(1时,原积分发散。
二、对判别法的进一步讨论
l、柯西极限判别法适用于非负函数的广义积分,对其敛散性判别有一定效果.但对变号函
数的广义积分,只能判别其是否绝对收敛,在使用过程中,必须对被积函数加绝对值,否则,d
比较判别法、柯西判别法、积分判别法以及条件收敛的阿贝尔判别
法,狄利克雷判别法等来判别确定广义积分的敛散性。
现就常用的柯西判别法的极限形式判别广义积分的敛散性作
一些探讨,并予以推广。
一、对判别法的应用
为行文方便起见,给出柯西判别法的极限形式如下:
定理,对于无穷积分犷一f(·)d一设v·。[a,十一),f(·)
x一+目
X.
l+x.~lim一x一十的X1一(轰+一,+x.一一x,可取入二n一m,就有】jmx一.一+的X.l+x.
当、-。一>l时,厂一品dX收熟当、-。一。时,犷一湍dX发散·
有时候不知道需要进行比较的六的次“、,可以利用泰勒公式看出.
例4积”方一万君清”否“敛考虑被积函数的分母、石二而哥