华北水利水电
大学
课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结）
专业班级:水利港航39班
成员组成:丁哲祥 201203901
联系方式:
2012.05.23
数项级数敛散性判别法（总结）
摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。

本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。

我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。

以便我们更好的掌握它。

关键词：数项级数敛散性判别方法总结
Several series gathered
of the criterion scattered method (summary) Abstract：The sequence series is one of the main contents in the mathematical analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterio n has many scattered method, this paper folding a series of logarithm scat tered discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving m ethod.
Key words: Several series; Gathered scattered sex; Identifying method; a nalysis summary
一. 数项级数的定义 ：
● 数项级数的定义
设{a n }是一个数列，则称表达式
a 1+a 2+a 3+…a n +… 为（常数项）无穷级数，简称数项级数或级数，记为∑∞
=1n n a 或∑n a 称a n 为级数的通项或一般项。

下面举几个例子：
（1）1+2+3+4+5+6+…+n+…=∑n ；
（2）1- n n 1)1(413121--++-+Λ+…= ∑--n
n 1)1(
● 常见的数项级数
正项级数：级数中所有项均大于等于零。

交错级数：级数中的项正负相间的级数。

调和级数：形如∑=+++++n
n
113
12
11ΛΛ的级数。

等比级数：形如a+aq+aq 2+aq 3+…+aq n +…= ∑n aq （a ≠0）的级数。

P 级数：形如∑=+++p
p p p p n
n
113
12
11
1ΛΛ（p 是实数）。

二．数项级数是否收敛的判别定理及性质：
定理一.考察级数∑n a 前n 项的和 S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =∑i a ，
则称s n 为级数的前n 项部分和，｛s n ｝为级数的部分和数列。

所以，若级数∑n a 的部分和数列｛s n ｝收敛，即极限n n s ∞→lim
存在，则称级数∑n a 收敛，此时称极限n n s ∞
→lim 为级数∑n a 的和，记为 a 1+a 2+a 3+…+a n +…=s 或∑n a =s
反之，若级数的部分和数列发散，则级数发散。

定理二.（级数收敛的必要条件）如果级数∑∞
=1n a n 收敛，则他的一般项
收敛于零。

推理：如果级数∑∞
=1n a n 不收敛于零，则级数发散。

性质1.设级数∑n a ，∑n b 分别收敛于s 和t ，k 是一常数，则 （1）级数∑n ka 也收敛，且其和为ks 。

（2）级数∑∑±n n b a 也收敛，且其和为s ±t 。

性质2.在级数中添加，删除或修改有限项，不改变函数的敛散性。

定理三.一切调和级数都是发散的 定理四.等比级数收敛的条件 等比级数（几何级数）
∑
n aq （a ≠0）的敛散性：
当q <1时，级数收敛，当q ≧1时级数发散。

定理五.正向数列∑∞
=1n n a 收敛的充要条件是他的部分和数列｛s n ｝有界。

定理六.对于p 级数∑=+++p
p p p p n
n
113
12
11
1ΛΛ（p 是实数）
（1）当p>1时，级数收敛 （2）当p ≦1时，级数发散 定理七.设∑n a 与∑n b 是两个正项级数，若
若级数∑n b 收敛时，且a n ≦b n （n=1，2，3，…），级数∑n a 也收敛；
当级数∑n b 发散时，且a n ≧b n （n=1，2，3，…），级数∑n a 也发散。

定理八、（极限形式） 设∑n a 和∑n b 为两个正项级数，
● 若n
n
n b a ∞→lim =c ，且c ≠0，则两个级数具有相同的敛散性。

● n n
n b a ∞→lim =∞，则有级数∑n b 发散可推出级数∑n a 发散。

● n
n
n b a ∞→lim
=0，则有级数∑n b 收敛可推出级数 ∑n a 收敛 。

定理九. 交错积数的收敛判别法（莱布尼兹定理）：
设交错级数n n n a ∑∞
=--11)1(（a n >0），如果a n 满足条件
（1）数列｛a n ｝为单调减少数列， （2）数列｛a n ｝的极限值趋于0. 定理十.绝对收敛与条件收敛
1.对于数项级数∑n a ，如果由∑n a 的各项加绝对值所构成的正项级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，则称级数∑n a 绝对收敛；如果级数∑n a 收敛，而级数∑∞
=1
n n
a 发散，则称级数∑n a 条件收敛。

对于正项级数而言，收敛就是绝对收敛，但应注意，对于非正项级数，收敛，绝对收敛，条件收敛就是不
同的概念。

例如，级数∑--n n 1)1(是条件收敛，而级数∑--21
)1(n
n 是绝对收敛。

所以，如果级数∑n a 绝对收敛，则级数∑n a 收敛。

2.（比值判别法） 已知级数∑n a , (1).若l a a n
n n =+∞
→1
lim
<1，则级数绝对收敛，从而收敛；
(2)若l a a n n n =+∞→1lim >1或l a a
n
n n =+∞→1lim =∞，则级数发散； (3)若l a a n
n n =+∞→1
lim
=1，则级数可能收敛也可能发散，需用其他方法判别其敛散性。

例如，级数∑--n n 1)1(是条件收敛，而级数∑--21
)1(n
n 是绝对收敛。

注：对于定理四和定理五当判断一个级数的敛散性时，需要构造一个级数，这个构造的过程就要求我们对一些常用的有特殊性质的级数有所了解。

例如：调和级数，等比级数，p 级数。

比较法虽然简单，但是需要构造新级数，所以比较麻烦。

以下介绍一种方法用于自身比较。

3.（根值判别法） 已知级数∑n a ,
（1）若l a n n n =∞→lim <1，则级数绝对收敛，从而收敛； （2）若l a n n n =∞→lim >1或l a n n n =∞
→lim =∞，则级数发散； （3）l a n n n =∞
→lim =1，则级数可能收敛也可能发散，需用其他方法判别其敛散性。

例如，级数∑--n n 1)1(是条件收敛，而级数∑--21
)1(n
n 是绝对收敛。

三．研究及其成果（以例题分析）
例题二. 判断调和级数的敛散性
例题三.讨论p级数的敛散性
例题四.交错级数的推广
例题五.比较判别法的应用
例题六.关于正项级数敛散性判定的一类方法的推广
例.
数项级数敛散性判别方法
四、总结：在以上的例题中，可以看出，每一个题，可能有多
种方法处理。

但是总有一种比较适合且简便的方法。

而且不同的方法有不同的适用范围。

在某些领域可能有着特别方便的应用，但是在另一些领域内可能毫无用处。

所以我们需要选择合适的方法。

对于有些题目，可能需要多种方法共同处理。

对于正项级数首先观察其通项是否趣于零，如果通项不趣于零，则级数发散。

如果通项趣于零，可根据级数通项的特点，考虑用比较审敛法、比值审敛法或根值审敛法。

如果不是正项级数，可以通过加绝对值使其变为正项级数定理。

五.参考文献：《高等数学》（下册）第三版上海交大，集美大学编万方数据第22卷第一期2006年2月《关于正项级数敛散性判定的一类方法》（周玉霞）
万方数据第28卷第3期2012年6月《一道数学竞赛题的相关问题》（苏化明，禹春福）
六.分工情况
全过程由丁哲祥单独完成
11。