安徽大学2011—2012 学年第一学期《高等数学A（三）》考试试卷（A 卷）（闭卷时间120 分钟）考场登记表序号题号一二三四五总分得分阅卷人一、选择题（每小题2 分，共10 分）得分1.设A为n阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（）。
（A）(2A)−1 =2A−1 ；（B）(2A−1)T=(2A T)−1 ；（C）((A−1)−1)T=((A T)−1)−1 ；（D）((A T)T)−1 =((A−1)−1)T。
2.若向量组1, 2 , , rααα可由另一向量组（）。
βββ线性表示，则下列说法正确的是1, 2 , , sβββ线性表示，则下列说法正确的是（A）r≤s；（B）r≥s；（C）秩( 1, 2 , , r1, 2 , , s1, 2 , , rααα)≤秩(βββ)；（D）秩(ααα)≥秩(βββ)。
1, 2 , , sβββ)。
3.设A, B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则下列说法正确的是（）。
（A）λE−A=λE−B；（B）A与B有相同的特征值和特征向量；（C）A与B都相似于一个对角矩阵；（D）对任意常数k，kE−A与kE−B相似。
4.设1, 2 , 3ααα为R3 的一组基，则下列向量组中，（）可作为R3 的另一组基。
（A）1, 1 2 ,3 1 2 1, 2 ,2 1 2α+αα+αα+α。
αα−αα−α；（B）ααα+α；（C） 1 2 , 2 3, 1 3α+αα+αα−α；（D） 1 2 , 2 3, 1 35.设P(A) =0.8 ，P(B) =0.7 ，P(A| B) =0.8 ，则下列结论正确的是（）。
（A）事件A与B互不相容；（B）A⊂B；（C）事件A与B互相独立；（D）P(A∪B) =P(A) +P(B) 。
第1 页共6 页二、填空题（每小题2分，共10分）得分6.设4 阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A* 的秩为。
7.设λ=2 是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵−1⎛1 ⎞A2⎜⎟⎝3 ⎠必有一个特征值等于。
8. 设离散型随机变量X的分布列为kP X=k=a⋅⎛⎜2 ⎞⎟( )⎝3 ⎠，k=0,1, 2, 3，则a=。
⎛−⎞1 0 19. 设离散型随机变量X的分布列为，若⎜⎟⎝⎠0.25 0.5 0.25Y=X2 ，则P(Y=1) =。
10.某车间生产的滚珠直径X服从N(μ,σ 2 ) ,现从产品中随机抽取 6 件,测得平均直径为x=,若已知方差σ 2 =0.06 ,则平均直径μ的置信度为95% 的置信区间14.95为。
(Φ(1.96) =0.975,Φ(1.645) =0.95)三、计算题（每小题9分，共9分）得分11.计算下列行列式a 1 1 111 a0 02D=1 0 a0n 31 0 0 an ，这里 2 3 n0a a a≠。
第2 页共6 页四、分析题（每小题13 分，共65 分）12.已知线性方程组AX=β有无穷多解，其中得分⎛a 1 1⎞⎜⎟A=⎜0 a−1 0⎟，⎜⎟1 1 a⎝⎠β⎛−⎞2⎜⎟=⎜1⎟。
⎜⎟1⎝⎠求：（1）a的值；（2）方程组AX=β的通解。
13.设二次型f(X) =2x2 +3x2 +3x2 +4x x，1 2 3 2 3（1）求正交变换X=QY，并写出f(X) 的标准形；（2）判定二次型f(X) 的正定性。
第3 页共6 页14.玻璃杯成箱出售，每箱8 只，假设每箱含0 只和1 只残次品的概率分别为0.8 和0.2。
一位顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看2 只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。
试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。
第4 页共6 页15.设(X,Y) 服从以x轴、直线x=1以及y=x围成的三角区域上均匀分布，试判断X,Y的独立性和相关性。
16.假设总体X的密度函数为f(x;θ)⎧≥e x−(x−θ),θ−(x−θ),θe x=⎨⎩0 , x<θ其中，θ>0是未知参数，( , , )X X为取自X的样本，试求θ的矩估计量和最大似然估1 n计量。
第5 页共6 页得分五、证明题（每小题6 分，共6 分）17.若A为n阶方阵，且A3 =0，证明：A−E为可逆矩阵。
第6 页共6 页安徽大学2011—2012 学年第一学期《高等数学A（三）》（A 卷）考试试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题2 分，共10 分）1、C；2、C；3、D；4、D；5、C。
二、填空题（每小题2 分，共10 分）6、0；7、3/4；8、27/65；9、0.5；10、(14.754,15.146) 。
三、计算题（每小题9 分，共9 分）111.解：将第j列乘上−均加到第1 列上（j=2, 3,",n），得到ajDn1 1 1a−−−− 1 1 1""1a a a2 3 n0 a0 0"=2(7 分)0 0 a0"3"""""0 0 0 a"n⎛⎞n 1∑"a. （9 分）=⎜a−⎟a a1 2 3 na⎝⎠j=2 j四、分析题（每小题13 分，共65 分）12. 解：（1）增广矩阵⎛a 1 1 −2⎞⎜⎟⎛1 1 a 1 ⎞⎜⎟→⎜0 a−1 0 1 ⎟⎜⎝−⎟⎠A=⎜a−⎟0 1 0 1⎜⎟1 1 a 1⎝⎠a 1 1 2⎛1 1 a 1 ⎞⎛1 1 a 1 ⎞⎜⎟⎜⎟→⎜−⎟→⎜−⎟0 a 1 0 1 0 a 1 0 1，⎜−−−−⎟⎜−−−⎟0 1 a 1 a 2 a0 0 1 a 1 a2 2⎝⎠⎝⎠因为线性方程组AX=β有无穷多解，故a=−1。
（6 分）（2）当a=−1时，⎛1 1 1 1⎞⎛1 0 1 3/ 2⎞⎛−⎞−− 1 0 1 3/ 2⎟⎜⎟，⎜⎟⎜A→⎜0 −2 0 1⎟→⎜0 −2 0 1 →⎜0 1 0 −1/ 2⎟⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎝⎠⎝⎠⎝⎠故方程组的通解为第1 页共4 页X⎛3 ⎞⎛1⎞1 ⎜⎟⎜⎟=⎜−⎟+⎜⎟21 k0 （k为任意常数）。
（13 分）⎜⎟⎜⎟0 1⎝⎠⎝⎠⎛2 0 0⎞⎜⎟13.解：(1)二次型的矩阵为=⎜0 3 2⎟。
由A⎜⎟0 2 3 ⎝⎠λ−2 0 0λE−A=0 λ−3 −2 =(λ−2)(λ−5)( −λ1),0 −2 λ−3得A的特征值为λ1=2,λ2=5,λ3=1。
（4 分）当λ1=2 时, 解方程(2E−A)X=0，由⎛0 0 0 ⎞⎛0 1 2⎞⎜⎟⎜⎟2E−A=⎜0 −1 −2⎟→⎜0 01⎟⎜−−⎟⎜⎟0 2 1 0 0 0⎝⎠⎝⎠，得特征向量(1,0,0)T.取α=。
T1 (1, 0, 0)当λ2=5 时,解方程(5E−A)X=0 ，由⎛3 0 0 ⎞⎛1 0 0 ⎞⎜⎟⎜⎟5E−A=⎜0 2 −2⎟→⎜0 1 −1⎟⎜−⎟⎜⎟0 2 2 0 0 0⎝⎠⎝⎠，得特征向量(0,1,1)T.取α=。
T2 (0,1/ 2,1/ 2)当λ3=1 时,解方程(E−A)X=0,由⎛−1 0 0 ⎞⎛1 0 0⎞⎜⎟⎜⎟A−E=⎜−−⎟→⎜0 2 2 0 1 1，⎟⎜−−⎟⎜⎟0 2 2 0 0 0 ⎝⎠⎝⎠得特征向量(0,−1,1)T.取α=−−。
T3 (0, 1/ 2, 1/ 2)于是有正交矩阵Q=(α,α,α) 和正交变换X=QY,使1 2 3f=2y12+5y22+y32。
（10 分）(2) 因为该二次型的正惯性指数为3，故该二次型为正定二次型。
（13 分）14. 解：设A=“顾客买下该箱玻璃杯”，B=“该箱中恰有i个残次品”，i=0,1。
i（1）由全概率公式有P(A) =P(B)P(A| B) +P(B)P(A| B)0 0 1 1C C2 2=×8 +×7 =。
（7 分）0.8 0.2 0.95C C2 28 8第2 页共4 页（2）由贝叶斯公式有P(B)P(A| B)P(B| A) =0 00 +P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)0 0 1 1=C220.8×8C8C C2 20.8×8+0.2×7C C2 28 8=0.842。
（13 分）15. 解：设(X,Y) 的联合概率密度函数为f(x, y)⎧∈2 (x, y) G =⎨0 (x, y)∉G ⎩⎧⎪≤≤x∫2dy, 0 x 1+∞∫f(x) =f(x, y)dy=⎨X−∞⎪0, 其他⎩⎧2x, 0 ≤x≤1 =⎨⎩0, 其他同理⎧≤≤1∫⎪2dx, 0 y 1+∞∫f(y) =f(x, y)dx=⎨yY−∞⎪⎩0,其他⎧2(1−y), 0 ≤y≤1=⎨⎩其他0,因为f(x, y) ≠f(x) f(y) ，所以X,Y不独立。
（7 分）X Y1 2 EX=∫x⋅xdx=⋅x=，1 3 12 2 |3 3 02 2 EY=∫y⋅−y dy=y−y=−=1 2 3 12 (1 ) ( ) | 13 30 13，EXY=∫∫xydxdy=∫∫xydy dx2 [ 2 ]1 x0 0G11 x 12 x =∫∫=∫⋅2x[ ydy]dx2x y| dx20 0 01 11 2 4 1 =∫⋅= =2x x dx x|2 414，1 2 1 1Cov(X,Y) =EXY−EXEY=−⋅=≠0 ，4 3 3 36故X,Y相关。
（13 分）16.解：先求θ的矩估计量μ1+∞−−+∞−=EX=∫xeθdx=eθ∫xedx(x) xθθ+∞−−+∞+∞=−eθ∫xd e=−eθxe−∫e d]( x) [ x| −x xθθθ=−eθ[0 −θe−θ+e−x|+∞] =−eθ[−θe−θ−e−θ]θ第3 页共4 页=eθθe−θ+e−θ=θ+1。
[ ]A=X。
1令μ 1 =A1 ，则有ˆX 1 θ=−,即为θ的矩估计量。
（7 分）再求θ的最大似然估计量。
似然函数为n∑n n nθ−xL(x, , x; ) f(x; ) e e",θθθ−x=∏=∏=ii i=11 n ii=1 i=1lnnL nθx =−∑,ii=1d ln Ldθ=n>0 ,即ln L为θ的递增函数，又因为对任意的i，有x≥θ，故θ的最大似然估计值为iˆminθ=x。
ii最大似然估计量为ˆminθ=X。
（13 分）ii五、证明题（每小题6分，共6分）17. 证明：由A3 =0得到A3 −E=−E，即(A−E)(A2 +A+E) =−E，（3 分）故(A−E)(−(A2 +A+E)) =E，因而A−E可逆。
（6 分）第4 页共4 页。