常微分方程模拟试题及参考解答（1）
得分 评卷人 一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是 ． 2．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个．
3．一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线． 4．方程0=+''y y 的基本解组是 ．
5．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．
得分 评卷人 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6．若)(),(21x y x y 是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则在其定义的区间上，它们（ ）．
（A ）可以有共同零点 （B ）可在0=x 处有共同零点 （C ）没有共同零点 （D ）可在1=x 处有共同零点
7. ),(y x f y '
连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（ ）条件． （A ）充分 （B ）充分必要 （C ）必要 （D ）必要非充分 8．方程
x x y x
y +-=d d （ ）奇解．
（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个 9．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．
（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解 10．方程
2d d y x y =通过点(1, 1)的解为x
y -=21，其有定义的区间是（ ）． (A) )2,(-∞ (B) ),(∞+-∞ (C) ]2,(-∞ (D) ),2(∞+
得分 评卷人 三、计算题（每小题６分，本题共30分）
求下列方程的通解或通积分： 11. 0d d )2(=-+y x x y x
12. 1d d +=x y
x y 13. 0d )ln (d 3
=++y x y x x
y
14．2
)(y y x y '+'=
15．03)(2
2=+'+''x y y y
得分 评卷人 四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．求方程x
y y cos 1
=
+''的通解． 17．求下列方程组的通解．
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x t
y y x t
x
34d d 2d d
得分 评卷人 五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18．设)(1x y ，)(2x y 是方程
0)()(=+'+''y x q y x p y
的解，且满足)(01x y =)(02x y =0，0)(1≠x y ，这里)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，
),(0∞+-∞∈x ．试证明：存在常数C 使得)(2x y =C )(1x y ．
19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，已知)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续．求证：
该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切．
常微分方程模拟试题（1）参考答案及评分标准
（供参考） 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1．1,1±=±=x y 2．n
3．2
4．x cos ，x sin 5．没有
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．C 7．A 8．C 9．C 10．A 三、计算题（每小题６分，本题共30分） 11．解 方程化为
x y
x y 21d d += 令xu y =，则x
u x u x y d d d d +=，代入上式，得 u x
u
x +=1d d （3分） 分量变量，积分，通解为
1-=Cx u
原方程通解为
x Cx y -=2
（6分） 12．解 齐次方程的通解为
Cx y = （2分） 令非齐次方程的特解为 x x C y )(=
代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( （5分） 原方程的通解为
Cx y =+x x ln （6分）
13．解 因为
x
N
x y M ∂∂=
=∂∂1，所以原方程是全微分方程． （3分） 取)0,1(),(00=y x ，原方程的通积分为
C y y x x y y
x =+⎰⎰0
31d d 即 C y x y =+4
4
1ln （6分）
14．解 原方程是克来洛方程，通解为
2C Cx y += （6分） 15．解 原方程是恰当导数方程，可写成 0)(3='+'x y y
即 13C x y y =+' （3分） 分离变量解此方程，通积分为
24124
1
21C x x C y +-= （6分） 四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．解 对应齐次方程的的通解为
x C x C y s i n c o s 21+= （4分）
令非齐次方程的特解为
x x C x x C y sin )(cos )(211+=
)(),(21x C x C '
'满足
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡''⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-x x C x C x x x x cos 10)()(cos sin sin cos 21 （6分） 解得 1)(,cos sin )(21='
-
='x C x
x x C 积分，得 x x C cos ln )(1=，x x C =)(2
原方程通解为
x x x x x C x C y sin cos ln cos sin cos 21+++= （10分） 17．解 特征方程为 0542
=--λλ，
特征根为11-=λ，52=λ， （4分）
11-=λ和52=λ对应的特征向量分别为
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢
⎣⎡-2111， （8分） 故原方程组的通解为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--t t t t C C y x 55212e e e -e （10分）
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18．证明 设)(1x y ，)(2x y 是方程的两个解，则它们在),(∞+-∞上有定义，其朗斯基行列式为
)()()
()()(2
121x y x y x y x y x W ''= 由已知条件，得 0)()(00
)()()()()(02
0102
01
02010=''=''=
x y x y x y x y x y x y x W
故这两个解是线性相关的． （5分）
由线性相关定义，存在不全为零的常数21αα，，使得
0)()(2211=+x y x y αα， ),(∞+-∞∈x 由于0)(1≠x y ，可知02≠α．否则，若02=α，则有0)(11=x y α，而0)(1≠x y ，则01=α，
这与)(1x y ，)(2x y 线性相关矛盾．故 （8分） )()()(112
1
2x Cy x y x y =-
=αα （10分） 19．证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是),(∞+-∞． （2分） 显然，该方程有零解0)(≡x y ． （5分）
假设该方程的任一非零解)(1x y 在x 轴上某点0x 处与x 轴相切，即有)()(01
01x y x y '== 0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(≡x y 可知),(,0)(1∞+-∞∈≡x x y ，这是因为零解也
满足初值条件)()(01
01x y x y '== 0，于是由解的惟一性，有∈≡≡x x y x y ,0)()(1,(-∞ )∞+．这与)(1x y 是非零解矛盾． （10分）。