题型六、数形结合问题
2 x 1 y • 7.若直线y=x+k与曲线 恰有一个公共点,
k 2或k (1,1] 则k的取值范围是________________.
小结：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)利用点到直线的距离公式 表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
题型一、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0， 判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标及弦长。 d r
5 5=r 10
代数法： 3x +y－6=0
x2 + y2 － 2y － 4=0 消去y得：x2-3x+2=0 =(-3)2-4×1×2=1>0
2 2
练习题： P128 1、2、3、
练习1:已知圆
x y 4,
2 2
直线 l: y=x+b, 求b的取值范围,使
(1)圆上没有一个点到直线l的距离等于1 (2)圆上恰有一个点到直线l的距离等于1
(3)圆上恰有两个点到直线l的距离等于1
(4)圆上恰有三个点到直线l的距离等于1 (5)圆上恰有四个点到直线l的距离等于1
作业：
课本P132 3、5、
几何法：
圆心C（0，1）到直线l的距离 d=
|3 0 1 6|
32 12
所以直线L与圆C相交
所以方程组有两解， 弦长= 10 2 2 ( 5)2 ( ) 10 2 直线l与圆C相交
比较：几何法比代数法运算量少，简便。
题型二.若直线与圆相交，求弦长问题：
圆的弦长的求法
几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边
港口
O
轮船
x
一.实例引入
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆 的方程为:
x y 9
2 2
轮船航线所在直线 l 的方程为：
y 港口
4 x 7 y 28 0
问题归结为圆心为O的圆 与直线l有无公共点．
O
轮船
x
二.直线与圆的位置关系 想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
一.实例引入 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的 台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的 范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风 中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它 是否会受到台风的影响？
y
为解决这个问题，我们以台 风中心为原点 O，东西方向为 x 轴，建立如图所示的直角坐 标系，其中取 10km 为单位长 度．
平面几何中，直线与圆有三种位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （2）
（3）
判断直线与圆位置关系的方法?
1.判断直线与圆位置关系的方法
方法一：直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0
消元
x 2 y 2 4 相交于A,B两点，求
弦长|AB|的值
解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形） 设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则 y
2 d 2 1 (1) 2 | AB | 2 r d 14
2 2
1
B r
A
d
O
x
练习：求直线3x+4y+2=0被圆 截得的弦长。
x y 2x 3 0
设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则
2＝r2－d2.
例2、已知过点M（-3，-3）的直线l被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5，求直线l的 方程。
利用几何性质，求弦心距,然后用点到直线的距离求斜 率。
X+2y+9=0,或2x-y+3=0 详解见课本P127
M
y
. .
O
x
2．已知直线 y=x+1 与圆
一元二次方程
方法二：直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2
d=
1、几何方法解题步骤： 把直线方程化为一般式, 圆的方程化为标准 式，求出圆心和半径 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 作判断: 当d>r时，直线与圆相离； 当d=r时，直线与圆相切; 当d<r时，直线与圆相交