第四讲 直线与圆锥曲线中的弦长问题
【关卡1 一般弦的计算问题】
笔 记
1.直曲联立韦达定理法（优化的弦长公式）
2.直线与圆锥曲线的位置关系的判断
代数法 几何法
例 题
1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为，且
e =，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ，
（1）求椭圆的方程；
（2）弦AB 的长度.
2.已知椭圆1422=+y x 以及直线m x y +=
（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围
（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程
3.已知直线3+=kx y 与椭圆12
22
=+y x ，试判断k 的取值范围，使得直线与椭圆分别有两个交点，一个交点和没有交点？
4.已知椭圆1222=+y x ，),(00y x P ，1202020≤+<y x ，问12
00=+y y x x 与椭圆的公共点个数？
5.已知双曲线422=-y x ，直线)1(:-=x k y l ，试讨论满足下列条件时实数k 的取值范围
（1）直线l 与双曲线有两个公共点
（2）直线l 与双曲线有且只有一个公共点
（3）直线l 与双曲线没有公共点
过关练习 1.)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为3
6，设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l 和椭圆交于A,B 两点,当|AB |=
3，求的b 值.
2.已知椭圆G:14
22
=+y x ，过点（m ，0）作圆122=+y x 的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点 （1）求椭圆的焦点坐标和离心率；
（2）将|AB |表示成m 的函数，并求|AB |的最大值
3.直线01=--kx y 与椭圆152
2=+m
y x 恒有公共点，求m 的取值范围？
4.若直线
2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，求k 的取值范围？
【关卡2 中点弦问题】
笔 记
设椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （0,000≠≠y x ），则
1222
-=-=⋅e a b k k op AB 设双曲线12222=-b
y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （0,000≠≠y x ），则1222-==⋅e a b k k op AB 设抛物线px y 22=的弦AB 的中点为P ),(00y x （00≠y ），则0y p k AB =
例 题
1.已知椭圆14
162
2=+y x 求（1）以)1,2(-P 为中点的弦所在直线的方程
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程
（3）过)2,8(Q 的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程
2.（1）已知椭圆E ：22
143
x y +=，试确定m 的取值范围，使得椭圆E 上存在两个不同的点关于直线4y x m =+对称
（2）已知双曲线132
2
=-y x ，双曲线上存在关于直线L ：4+=kx y 对称的点，求实数k 的取值范围。

（3）如果抛物线y 2=px (p>0)和圆(x －2)2＋y 2
=3在x 轴上方相交于A 、B 两点，且弦AB 的中点M 在直线y=x
上，求抛物线的方程。

3.椭圆C 22
221x y a b
+=的两个焦点为12,F F ,点P 在椭圆C 上，且12,PF PF ⊥ 143PF =,2143
PF = （1）求椭圆C 的方程。

（2）若直线l 过圆22++4-2=0x
y x y 的圆心M,交椭圆C 于A,B 两点，且A,B 关于点M 对称，求直线l 的
方程。

过关练习
1.已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，求|AB|的长。

2.已知直线1+=kx y 与双曲线1322=-y x 有A,B 两个不同的交点。

（1）如果以AB 为直径的圆恰好过原点，试求k 的值。

（2）是否存在k 的值，使得AB 两个不同的交点关于直线x y 2=对称
3.已知椭圆C ：22
194
x y +=和圆M ：22420x y x y ++-=，是否存在直线l ，使l 过圆心M ，与椭圆C 相交于A, B 两点，且A, B 两点关于M 对称？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。