OD1A1C1B1ACD B七、立体几何（一）填空题 1、（2009江苏卷8）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .【解析】 考查类比的方法。
体积比为1：82、（2009江苏卷12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。
上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）. 【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。
真命题．．．的序号是(1)(2)3、（2012江苏卷7）．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥D D BB A 11-的体积为 cm 3.【解析】如图所示，连结AC 交BD 于点O ，因为 平面D D BB ABCD 11⊥，又因为BD AC ⊥，所以，D D BB AC 11平面⊥，所以四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，根据题意3cm AB AD ==，所以223=AO ，又因为32cm BD =，12cm AA =，故矩形D D BB 11的面积为22cm ，从而四棱锥D D BB A 11-的体积313226cm 32V =⨯=.DABC1C 1D 1A1B【点评】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强，结合空间中点线面的位置关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，这是解决该类问题的关键.在复习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵活运用.本题属于中档题，难度适中.4、（2013江苏卷8）8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V 。
答案： 8．1:24（二）解答题1、(2008江苏卷16)在四面体ABCD 中，CB= CD, AD ⊥BD ，且E ,F 分别是AB,BD 的中点， 求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ， ∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂ 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ．（Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD.∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD. 又EF I CF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ．江西卷．解 ：（1）证明：依题设，EF 是ABC ∆的中位线，所以EF ∥BC ， 则EF ∥平面OBC ，所以EF ∥11B C 。
又H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ，则AH ⊥11B C 。
因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ， 所以OA ⊥面OBC ，则OA ⊥11B C ， 因此11B C ⊥面OAH 。
（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N 。
因为1OC ⊥平面11OA B ，A BC1A D EF 1B 1C B 1C 1A 1HFE CB A OzN MB C 1A 1HFE CBAO根据三垂线定理知，1C N ⊥11A B ，1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角。
作EM ⊥1OB 于M ，则EM ∥OA ，则M 是OB 的中点，则1EM OM ==。
设1OB x =，由111OB OA MB EM =得，312x x =-，解得3x =， 在11Rt OA B ∆中，221111352A B OA OB =+=，则，111135OA OB ON A B ⋅==。
所以11tan 5OC ONC ON∠==，故二面角111O A B C --为arctan 5。
解法二：（1）以直线OA OC OB 、、分别为x y 、、z 轴，建立空间直角坐标系，O xyz -则11(2,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,,)22A B C E F H所以1111(1,,),(1,,),(0,2,2)2222AH OH BC =-==-u u u r u u u r u u ur所以0,0AH BC OH BC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r所以BC ⊥平面OAH由EF ∥BC 得11B C ∥BC ，故：11B C ⊥平面OAH (2)由已知13(,0,0),2A 设1(0,0,)B z则111(,0,1),(1,0,1)2A E EB z =-=--u u u r u u u r 由1A E u u u r 与1EB u u u r 共线得:存在R λ∈有11A E EB λ=u u u r u u u r 得113(0,0,3)21(1)z B z λλ⎧-=-⎪⇒=∴⎨⎪=-⎩ 同理:1(0,3,0)C 111133(,0,3),(,3,0)22A B AC ∴=-=-u u u u r u u u u r 设1111(,,)n x y z =r是平面111A B C 的一个法向量,则33023302x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令2x =得1y x == 1(2,1,1).n ∴=u r又2(0,1,0)n =u u r 是平面11OA B 的一个法量 126cos ,411n n ∴<>==++u r u u r所以二面角的大小为6arccos6（3）由（2）知，13(,0,0)2A ，(0,0,2)B ，平面111A BC 的一个法向量为1(2,1,1)n =u r 。
则13(,0,2)2A B =-u u u r 。
则点B 到平面111A B C 的距离为1113266A B n d n ⋅-+===u u u r u r 2、（2008江苏卷22）记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围．5.（2009江苏卷16）（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C⊥。
求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。
满分14分。
3、（2010江苏卷16）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900。
(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离。
【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。
满分14分。
（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC 。
由∠BCD=900，得CD ⊥BC ，又PD I DC=D ，PD 、DC ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD 。
因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC 。
（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PB C 的距离相等。
又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍。
由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F 。
易知DF=22，故点A 到平面PBC 的距离等于2。
（方法二）体积法：连结AC 。
设点A 到平面PBC 的距离为h 。
因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠AB C=900。
从而AB=2，BC=1，得ABC ∆的面积1ABC S ∆=。
由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积1133ABC V S PD ∆=⋅=。
因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC 。
又PD=DC=1，所以222PC PD DC =+=。
由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ∆的面积22PBC S ∆=。
由A PBC P ABC V V --=，1133PBC S h V ⋅==V ，得2h =，故点A 到平面PBC 的距离等于2。
4、（2011江苏卷16）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF∥平面PCD ；（2）平面BEF⊥平面PAD 【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考察空间想象能力和推理论证能力。
满分14分。
证明：（1）在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF//PD.又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以直线EF//平面PCD.（2）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°， 所以△ABD 为正三角形，因为F 是AD 的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD=AD ，所以BF⊥平面PAD 。
又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF⊥平面PAD. 5、（2011江苏卷22）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,1AA AB ==，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上，设二面角1A DN M --的大小为θ。
F E A CD（1）当090θ=时，求AM 的长； （2）当6cos θ=时，求CM 的长。
解：建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 设(02)CM t t =≤≤，则各点的坐标为11(1,0,0),(1,0,2),(,1,0),(0,1,)2A A N M t ，所以11(,1,0),(0,1,),(1,0,2).2DN DM t DA ===u u u r u u u u r u u u u r 设平面DMN 的法向量为111111(,,),0,0.n x y z n DN n DM =⋅=⋅=u u u r u u u u r则即1111120,0.1x y y tz z +=+==令，则111,2,(2,,1)y t x t n t t =-==-所以是平面DMN 的一个法向量。