2． 求出 的本征值； 3． 导出随时间演化的方程。 ˆ (r ) kr 2 2 k ( x 2 y 2 z 2 ) 2 中运动。 四、质量为 的粒子在三维各向同性谐振子势为 V 求： 1． 第二激发态的能量； 2． 第一激发态的简并度； 3． 在 基 态 中 的 不 确 定 量 r p ， 这 里 r 是 位 置 矢 量 的 均 方 差 根 r r 2 x 2 y 2 z 2 。 p 则为三维动量的均方差根。定 义类似。 五、两个自旋都是 1 2 的粒子 1 和 2 组成的系统，处于由波函数 a 0 1 1 2 b 1 1 0 为 0 时，此态不能表示成两个单个粒子状态的直接乘积形式
n
1． 证明动量在态 n 中的平均值为零； 2． 求在态 n 中的动能平均值和势能平均值之间的关系。
ˆ ，定义密度算符（矩阵） 三、设归一化的状态波函数 满足薛定谔方程 i t H
为 。
ˆ 在态 中的平均值可表示为 tr F ； 1． 证明，任意力学量 F
2
描写的状态，其中 0 表示自旋朝下（沿 z 方向） ， 1 表示自旋朝上。当数 a 和 b 都不
1 2
时称为纠缠态。试
求在上面的纠缠态。试求在上面的纠缠态中， 1． 两个粒子的自旋互相平行的几率； 2． 两个粒子的自旋互相反平行的几率； 3． 此系统处于总自旋为 0 的几率； 4． 测量得到粒子 1 自旋朝上的几率多大；发现粒子 1 自旋朝上时，粒子 2 处于什么 状态？
1． 粒子具有Biblioteka 态能量 E1 几率； 2． 粒子的平均能量（用基态能量 E1 的倍数表示） ； 3． 态 4 中的节点数（在节点处，找到粒子的几率密度为零） ； 4． 态 3 的宇称。 ˆ p ˆ 2 2 V ( x), V ( x) V0 x , V0 0, 2, 4, 6, 。 二、考虑一维体系 H ˆ 的本征波函数为 ， 设H
试题名称：2004 量子力学
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中国科学院－中国科技大学 2004 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
试题名称：量子力学（任选五题，每题 30 分）
一、粒子在一维无限深方势阱 V ( x) 中运动，
x a V ( x) 0 x a 处于状态 1 3 24 。这里 n，n 1, 2,3, 是系统归一化的能量本征态。请问
试题名称：2004 量子力学 第1页 共2页
2 ˆ ˆ ˆ 2 V (r ) (r ) L 六、考虑到自旋轨道耦合的氢原子，其哈密顿量为 H S 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1． 证明轨道角动量 L 和 S 不是此系统的守恒量，而总角动量 J L S 是守恒量。 ˆ ˆ 2． 若自旋－轨道相互作用 (r ) L S 可当作微扰，计算此系统基态能量的一级修正。 2 ˆ 2 V (r ) 的本征能量为 E (0) ， nlms Rnl (r )Ylm ( , ) s ， s （H 本征函数： 0 n 2 为自旋波函数）