§2 求导法则上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象.因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数：x x x f cos sin )(1+= x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2⋅= )sin()(2ax x g = xxx f a log cos )(3=x x g arcsin )(3=x c x f sin )(4= x x g arccos )(4=一、导数的四则运算问题1 设x x x f cos sin )(±=,求)('x f .分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±== .即)'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=±一般地,有如下和的导法则：定理1（和的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则 )()(])()([x g x f x g x f '±'='± （求导是线性运算）证明 令 )()()(x g x f x y +=。

时当0)()()()()()()]()([)]()([→∆'+'→∆-∆++∆-∆+=∆+-∆++∆+=∆∆x x g x f xx g x x g x x f x x f xx g x f x x g x x f x y问题2 设xa x x f ⋅=sin )(,则a a x a x x f xxln cos )'()'(sin )('⋅⋅=⋅=对吗？分析 一般地,有如下乘积的求导法则： 定理2（积的导数）设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '⋅+⋅'='⋅（它导它不导,它不导它导,然后加起来）证明 令 )()()(x g x f x y ⋅=。

时当分子0)()()()()()()()()()())()()()(()()()()(→∆'⋅+⋅'→∆-∆++∆+⋅∆-∆+=∆+⋅+∆+⋅-∆⋅-∆+⋅∆+=∆∆x x g x f x g x f xx g x x g x f x x g x x f x x f x x g x f x x g x f xx g x f x x g x x f x y 推论1)(')()()()(')()()()(')())'()()((0000000000x w x v x u x w x v x u x w x v x u x x w x v x u ++=.推论2 若函数)(x v 在0x 知可导,C 为常数,则)('))'(cos(00x v C x x x ⋅==.问题3 设xa x f a xlog )(=,求)('x f .一般地,存如下商的运算法则：定理3（商的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则)()()()()()()(2x g x g x f x g x f x g x f '⋅-⋅'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡.证明 令)(1)(x g x y =。

时当0)()()()(1)()()(1)(112→∆'-→∆+⋅∆-∆+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆+⋅∆=∆∆x x g x g x g x x g x x g x x g x g x x g x x y )(1)()()(x g x f x g x f ⋅= 给出（3）. 推论 (1) )(])([x f c x f c '='. (2) ∑∑=='='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ni i n i i x f x f 11)()(.(3))()()()(,)()(111x f x f x f x K x K x f n k k nk k n j i '=='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∏==.∆.利用导数的四则运算法则举例.例1 π+-+=x x x x f 95)(23,求)('x f ,)0('f . 例2 x x y ln cos =,求π=x y '. 例3 证明：1)'(----=n nnx x,+∈N n .例4 证明：x x 2sec )'(tan =,x x 2csc )'(cot =.例5 证明：x x x tan sec )'(sec =,x x x cot csc )'(csc -=.∆.利用导数的四则运算法则求导数举例：1． x x x f sin )(2+=; 2． x x x x f cos sin )(3+-=; 3． 22)(x x f =; 4． x x x f cos )(2=; 5．x x x x f 7sin )(+=; 6．x x x x x f cos )(32++=; 7．x tgx x x x x f +⋅=ln sin )(2; 8．xtgxx x f 3sin 5)(+=; 9．x x tgxxe y x ln 1sin 2++=. 二、反函数的导数问题1 设x x f arcsin )(=,求)('x f .定理4 设)(y x ϕ=在区间),(d c 上连续,严格上升,在),(0d c y ∈点可导,且0)(0≠'y ϕ, )(00y x ϕ=.则反函数)(x f y =在0x 点可导,且)]([1)(1)(000x f y x f ϕϕ'='='.注 若)(y x ϕ=在),(d c 可导,导数)0(0<>或,则反函数)(x f y =存在,且)()(1)]([1)(1)(x f y y x f y x f ='='='='ϕϕϕ .这里导数)0(0<>或可推出)(y ϕ严格上升（下降）,反函数之导数公式也可写成dy dx dxdy 1=.定理的证明 要证0)()(limx x x f x f x x --→存在,注意到这个比式是函数)()()(00y y y y y g ϕϕ--=与 )(x f y =的复合,由定理条件知)(10)0()(1lim )()()()(lim00000y y y y y y y x f x f y y y y ϕϕϕϕϕ'=--=--→→.再由反函数连续性,0x x →时,0y y →,由复合函数求极限定理得)(1)(lim )]([lim )()(lim 000000y y g x f g x x x f x f y y x x x x ϕ'===--→→→.例6)1,0(≠>=a a a y x,求y '. 解y x a log =,ax a xa y e yx a y y a a a x ln log )(log 1)(===='=',反过来,如果)('x a 已知,也可求y e a a y a x a x a x x a log ln 1log )(1)(log ==='='.例7 αx y =,求y '.解 xey ln α=,1ln -⋅=='ααααx x e xy .例8 x y arcsin =,求y '. 解 y x sin =,。

211)cos(arcsin 1arcsin )(sin 1)(arcsin x x xy y x -==='='例9 x y arccos =,求y '. 例10 x arctg y =,求y '.三、复合函数的导数问题1 设x x f 2sin )(=,求)('x f ;2）. 设)sin()(xa x f =,求)('x f ;3）. 设αx x f =)(,求)('x f .定理5 设)(0u f '与)(0x g '存在,)(00x g u =,则复合函数)]([)(x g f x F =在0x 点可导,且)()]([)(000x g x g f x F '⋅'='.注 若)(u f 的定义域包含)(x g u =的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合函数)]([)(x g f x F =在)(x g 的定义域上可导,且)()]([)(x g x g f x F '⋅'='（怀中抱月）或x u x u y y '⋅'=', dx du du dy dx dy ⋅=.定理的证明 定义函数⎪⎩⎪⎨⎧='≠--=。

00000,)(,,)()()(u u u f u u u u u f u f u A )(u A 在0u 点连续,)()()(lim 000u f u A u A u u '==→.由恒等式,))(()()(00u u u A u f u f -=-,我们有00000)()()]([)]([)]([)()(x x x g x g x g A x x x g f x g f x x x F x F --⋅=--=--令0x x →,得 )()]([)(000x g x g f x F '⋅'='. 我们引进)(u A 是为了避免再直接写表达式00000)()()()()()(x x x g x g u u u f u f x x x F x F --⋅--=--中当0x x ≠时,可能会出现 0u u = 情况. 例1 21x y -=,求y '.解。