总统选举过程Joseph Malkevitch关键词：胜出票数、决胜选举、顺序决胜选举、波达计数法、孔多塞美国人每四年选一次总统。

投票和选举对一个有效的民主制度而言是必不可少的。

人民选出他们的代表来治理国家，而这些代表制定和执行每天都在影响人们生活质量的法律。

今年，美国数学宣传月让大家更加了解数学和统计在理解投票和选举时所起的作用。

美国总统选举的过程非常复杂。

几乎就在新总统当选之时，下届选战就又要开始了。

候选人要自我定位，筹集竞选资金，并在广泛的时间里开展这些运动。

在正式参选前，要经过预选、初选、辩论等步骤。

这里有三次总统选举的结果，只显示获得相当数量选票的主要政党和其他候选人的结果。

年份参选人票数2000小布什(George W.Bush)50,456,062戈尔(Albert Gore, Jr.)50,996,582纳德(Ralph Nader)2,858,8431992克林顿(William J.Clinton)44,909,326老布什(George Bush)39,103,882佩罗(H.Ross Perot)19,742,2401968尼克松(Richard M. Nixon)31,785,148汉弗莱(Hubert H. Humphrey)31,274,503华莱士(George Wallacet)9,906,473一个有趣的问题是，这些数字是否像报道时出现的一样准确。

有此疑虑是因为大多数人如被要求计算看似确定的数字时，往往会得不到正确的答案。

（通常这是因为进行大的计数时要花很长时间，这会导致我们的注意力衰退，也因此可能会作出一些错误。

）计票的准确性问题，由于著名的2000年总统大选中佛罗里达州涉及到的计票“吊挂式”问题而凸显而出。

如果你看不同的信息源，就会发现小布什和戈尔在2000年大选的总得票数居然不一样。

大多数人只想到列表显示纸质选票，对网上电子投票的计票结果的准确性提出了很多问题。

数学家和计算机科学家正在探讨投票和计票结果准确性和安全性的问题。

特别是，假设我们有部分选举结果并且得到某些特定地区的投票准确性，我们可以确定这些选举结果会否受有争议选票的影响吗？这里值得注意的是，在2000年得到最多选票的候选人最终并没有成为总统。

由于总统的选票只允许投给一名候选人，很难知道两个最后竞争者之间出现的投票结果会否和初选时多位候选人竞选的后果一致。

此外，我们不能肯定，选民投赞成票的候选人是否是该选民“最爱”的候选人。

例如，在2000年大选中，有可能某些选戈尔或小布什的选民可能更想选纳德，但他们还是投了和自己愿望相反的票，因为鉴于票计算方式，他们并不想废掉自己的选票，即不想把自己的一票投给明显的弱者。

选举团戈尔在2000年没有赢得选举的原因是总统选举不是按选民投票数，而是按选举团投票数的。

选举团工作方式的本质是，美国50个州的每个州投下一堆票，这些票数代表了该州的参议员总数（总是2）和该州在众议院拥有的成员数目。

哥伦比亚特区的选举团也有3票。

因此，总共有100+435+3=538票，要当选总统（副总统随总统自动当选）则需要270票。

在1988年的选举中，老布什获得的选举团票数为426（79.2%），而迈克尔·杜卡基斯则得到111张票（20.6%）。

从这个数据，你可能会认为老布什以“压倒性”优势赢。

然而，老布什获得民众的48866097张票（53.4%），而杜卡基斯得了41908074张票（45.6%），这表明二者的选民选举结果比较接近。

选举团投票与民众投票在上例的差别表明，候选人试图获得当选总统的方式，不仅取决于候选人得到多少票，而是这些票在哪些州获得。

这导致他们决定如何花费自己的时间及如何花钱才能当选成功。

数学家已经通过研究加权投票试图洞察选举团和拥有大票源的投票机构的作用。

加权投票不仅用于选举团，而且在欧盟事物中也起着调节所用，这是由于欧盟不同国家拥有不同的人口规模和经济实力。

有些人认为，省去选举团的民众一人一票选举将会更加民主。

也有些人辩称，如果没有选举团并且国家有一个“更好”的投票制度，美国不必只有两个主要政党而可能会有更多政党，因此选民有更多的选择。

还有人说，如上所观察到的，民众投票票数接近往往转化为选举团的巨大影响，而这将增加国家稳定性和美国式的民主。

要成为总统还有一层复杂性：获得两个主要政党（民主党或共和党）之一的认可。

主要政党总统候选人的选择是通过预选和初选的复杂系统来运行的。

一个很好的例子是在2008年大选中关于相对小的州对候选人的当选的影响不成比例的关注，因为这些小州初选与大州相比来得更早。

这导致密歇根州和佛罗里达州这两个大洲决定提早安排他们初选。

然而，民主党决定不允许在这些重组初选选出的代表“坐”在它的党代表大会上。

在选择候选人过程中，如何平衡全国不同地区的选民的影响是一个复杂的问题；这个问题也引起了不同学科学者的兴趣，他们都试图用巧妙的数学方法来解决最佳决策问题。

选举及投票的数学洞见美国人不仅投票选举总统，也投票选举制定国家法律的国会代表。

这些代表用投票来制定这些法律。

选举和投票的行为在民主政体中根深蒂固。

选择高中典礼的演讲者需要投票，工会野餐中需要什么也要投票，哪个运动员应该赢得年终最佳投手奖以及哪个电影女演员应该得奥斯卡最佳女配角奖也都需要投票。

选举和投票也许是政治学的传统领域。

然而，人们越来越清楚地发现，数学家和统计学家关于如何设计和提供投票系统，以及在不同投票系统之间的利弊权衡方面，都可以提出重要的建议。

投票和选举在一个非常复杂的环境中进行。

当数学和统计在这些情形下应用时，人们给出所研究情形的简化假设——这一过程称为数学建模，它试图洞察问题的本质到底是怎么回事。

一个投票系统有：∙作出选择的投票者∙候选者∙如何处理候选者（例如，一个胜者，几位胜者，及顺序等）∙投票方式∙决策方法（例如，如何收集选票数，如何选择委员会成员等）选举系统的这些部分中的每一项都带有各种各样的复杂性。

例如第一项，谁应该被允许在选举中投票？只有男人？只有那些拥有财产的人？只有18岁以上并且没有犯重罪的人？作为选举制度的一部分，人们必须对这类问题作出决定。

事实是，就在100年前，妇女在全国性联邦选举中是没有投票权的。

美国宪法1920年核准的第19条修正案才赋予妇女投票权。

同样，哪些人可被作为候选者可能更复杂。

为了获得选民可能的选票需要一个获得提名的复杂系统，避免选票被不认真的候选人或那些完全没有当选机会的人搞乱。

投票方式为简单起见，我们将考虑这些投票情况：选一个单一的赢家或构建一个排名。

比如“投票”决定邀请谁作为大学毕业典礼演讲者时要对候选人排名，因为排名最高的可能在规定的那天无法参加，这时备用人选就非常重要。

现在，当考虑选民的选票时，从数学的角度来看事情则变得较为有趣。

选票是选民自己对候选者偏爱与否的一种表达。

任何投过票的人都熟悉标准投票：提供一个可选者名单（有时给出更多的选择机会），选民从中必须选一个。

在本文开始时指出的总统选举表明，有些人对已经实施的标准选票和投票系统不满：当有两个以上的认真且知名的候选人时，往往有些人可能会觉得他们并不代表“人民的意志”。

试想一下，你面对表达你对公司野餐中比萨（P）、沙拉（S）、汉堡（B）的感觉这一问题。

为了方便起见将这三种选择用P、S和B来表示。

你可能同意，在标准投票中仅说你想S。

但你更倾向于投沙拉后，表达第二个选择为B然后是P。

你可能事实上对比萨过敏，但与当人们说他们对竞选总统的候选人过敏或者说从来没听说过某个候选人相比，这两种候选者的重要性是完全不同的。

这种思考已经产生了对多种投票方式的兴趣，其中有些想法仅仅最近才被认真地研究过。

下面是对一部分这些迷人想法的简要介绍。

在最早的建议中有：选民对每一对候选人X和Y产生序号或排名，指明他们是否偏爱X或偏爱Y，或者对两者不偏不倚。

有可以用来显示这种偏好的各项约定，但我喜欢在理解投票和决策现象中，使用基于数学思想的先驱Duncan Black所普及的符号。

Black的想法是画一个向上的箭头，朝上方的是排名较高的选择。

当排名两个可选者时，我们有三种可能性（如图1所示）：图1注意，当候选者的数量增长时，由一个单一选民投出的潜在选票结果数目会快速增长。

如果我们有三个可供选择而无投票者不偏不倚的可选者，选民可以使用6种不同的选择来表达自己，而如果不偏不倚是允许的，那么选民可以有13个不同的选择来表达自己。

没有不偏不倚的话，n个候选人的选票可能性是n!（即n的阶乘）。

有一个严重的担忧：选民是否对超过4个可选者能够产生这些选票？这导致了这样的问题：如果使用这种选票，选民将被迫产生涉及所有候选人的选票，还是选民可以截断选票？截断意味着，比如说虽然有可供选择的6名候选人，选民在投票时只选择投3名候选人。

如果选民在X和Y之间更喜欢X，有没有某种方式来表达这种偏好的力量，而不是只为了表明宁要X？这方面的关注产生了可以表达偏好强度的基数选票的想法。

为简单起见，假设有三位候选人X、Y、Z，希望让选民表达关于候选人的感觉强度。

做这事的方法之一是给每个选民一个固定数量的点数，比方说100点，并要求选民使用所有这些100点，按选民认为合适的方式分配给三名候选人。

例如，如果一个选民给X是49点，Y是48点，Z是3点，而另一位选民赋予X35点，Y34点，Z31点，则这两个选民将有相同的序号选票，但都有不同的选票基数。

有一些人会问是否从这些数目得出Y比Z被这两个投票者更偏爱多少的结论。

基数选票的一个完全不同的方式是给点数挑一个数字（通常是0到100），并指定每个候选人从0到100的一个数字。

这样，第一个选民可能给X100分，给Y99分，给Z33分，而另一个选民会给X9分，Y8分，Z7分。

我们再一次看到这两个分配有相同的序数选票。

这些点数的确切含义还不清楚；点数是否对不同的人具有不同的含义这一点是有问题的。

毕竟，在街上见到20美元对无家可归者和百万富翁意味着不同的东西，虽然都是相同的20美元钞票。

这种类型的选票已经与一个称为范围投票的投票方法相关联。

除了这里各种不同的序数和基数投票，简单地说还有一些其他的想法：a. 连记投票：投所有你看中的候选者。

注：在1970年的大约同一时间，有几个人开始讨论使用新型的投票法和决定选举的联合系统。

Guy Ottewell, Robert J. Weber, Steven Brams,和Peter Fishburn 这些人突发奇想到这样的投票方式:虽然只选择一位可选者，人们应该有一种投票法可以考虑可多可少的候选人。

例如，如果一个俱乐部试图在比萨（P）、鸡（C）、汉堡（B）、鱼（F）和沙拉（S）之间进行选择，一个选民可以同时投票给C和F。

b.“是-否”投票：对每个可选者投“是”或“否”。