２0０8现代控制理论试题Ｂ卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。

（4分) ２试从高阶微分方程385yy y u ++=求得系统的状态方程和输出方程(4分)解:1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是１。

状态变量个数是2。

…..（4分)2． 解:选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =,可得 …．.….…….(1分)12233131835x x x x x x x u y x ===--+= ….．….…….（1分)写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分）[]100y x = …．.….…….(１分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。

(3分)2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观?(５分)解:1.答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始,在第N 步达到零状态,即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。

若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。

…．.….…….（3分) ２.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分）[][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分)rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..…．…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为2122211(),()3232s s g s g s s s s s -+==++-+求两系统串联后系统的最小实现。

(8分)解112(1)(1)11()()()(1)(2)(1)(2)4s s s s g s g s g s s s s s s -+++==⋅=++--- …..….…….(5分）最小实现为[]010,10401x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦….．….…….（3分)四、将下列状态方程u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11 4321 化为能控标准形。

（8分) 解 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==7111Ab bU C …….．…………….…….(1分) ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-818181871C U ……．.…………..…….…….（１分) 11188P ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦……．.………….…..……．……．(１分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=43412P ……..………….…...……．…….(1分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4341818121P P P 1314881148P -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦..………….…．..…….…….（1分）101105C A PAP -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦………….…...…….…….（1分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==1011 43418181Pb b C ……….…．..…….…….（1分)u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10 51010 ……….…...…….…….(1分) 五、利用李亚普诺夫第一方法判定系统1211x x -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦的稳定性。

(8分) 解2122311I A λλλλλ+-⎡⎤⋅-==++⎢⎥+⎣⎦…………...……....…….……．(3分）特征根1λ=-…………...…...…….…….（3分）均具有负实部，系统在原点附近一致渐近稳定….．.…….……．（２分)六、利用李雅普诺夫第二方法判断系统1123-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x x 是否为大范围渐近稳定: （８分)解11121222pp P p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T A P PA I +=-…………..．……．...…….…….(1分)11121112221222241420261p p p p p p p -+=-⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩………...…….．.．……．…….（1分） 112212743858p p p ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩………．．.………….．..…….…….（1分） 1112122275485388p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦...…………．..．…….…….（１分）111211122275717480 det det 05346488p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=>==>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦………...（1分） P 正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的．………(1分） 七、已知系统传递函数阵为 2211(1)(2)()213(1)(2)1s s s s G s s s s s s +⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦试判断该系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。

（6分) 解：10d = 20d = －-----－--- (２分）[]110E =， []101E = -－-------- (２分)1001E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦非奇异,可实现解耦控制。

－-－--- (2分）11121222p p P p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦八、给定系统的状态空间表达式为[]12310110,0101011x x u y x ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，设计一个具有特征值为-1， -1，-１的全维状态观测器。

(8分)解：方法１1231231111E I A EC E E λλλλ++⋅-+=++--+ -－-－-- 1分 2322213332223321(21)3313332(3)(26)64E E E E E E E E E E E λλλλλλλλλλ=+++++++++++++=+++++++++ -- 2分又因为 *32()331f λλλλ=+++ -----－－ 1分 列方程32123264126333E E E E E E +++=++=+= --－-－ 2分1232,0,3E k E =-==- ----------- 1分观测器为10312ˆˆ0110010113x x u y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦------- １分 方法2321231136611I A λλλλλλλ+⋅-=+-=+++-+ -－-------------－--- 1分 *32()331f λλλλ=+++ ------------－-－----２分 1235,3,0E E E =-=-= -－-------－---------１分21211()10100TT TT T a a Q CA C A C a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦－--－---－－－－－-－----2分1232,0,3E k E =-==- １分观测器为10312ˆˆ0110010113x x u y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦－-－--－ 1分 九 解12100010012A O A O A ⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 12101,12A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ……………….．(１分)1200A tAtA t e e e ⎛⎫=⎪⎝⎭1A t t e e =…………………………..……….（１分）11210()12s sI A s ---⎛⎫-= ⎪--⎝⎭101111212s s s s ⎛⎫ ⎪-=⎪ ⎪-⎪---⎝⎭………..………．（1分) (){}2112220t A tt t t e eLsI A e ee --⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭……….…（1分）()11220000tAt t t tt e e L sI A e e e e --⎛⎫ ⎪⎡⎤=-= ⎪⎣⎦⎪-⎝⎭……….………．（2分） ()(0)At x t e x =222001000001t t t t tt t e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………..………．(2分）。