为 x ）、样本比率（记为p）、样本方差（记 为 s 2）。
统计量
(statistic)
1. 设X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的容量为n的 一个样本，如果由此样本构造一个函数 T(X1,X2,…,Xn) ， 不 依 赖 于 任 何 未 知 参 数 ， 则称函数T(X1,X2,…,Xn)是一个统计量
6，4 （5.0）
5
1，5 （3.0）
2，5 （3.5）
3，5 （4.0）
4，5 （4.5）
5，5 （5.0）
6，5 （5.5）
6
1，6 （3.5）
2，6 （4.0）
3，6 （4.5）
4，6 （5.0）
5，6 （5.5）
6，6 （6.0）
表8-2
x 的抽样分布
x
频数
fi
1.0
1
1.5
2
2.0
3
2.5
有了抽样分布的基本印象后，我们还可以进一步 探索的数量特征、分布的形态以及抽样平均误差。
1． x 的数学期望 x
11
x
xi fi
i 1
M
1.011.5 2 ...... 61 3.5 36
x 3.5
2．x 的方差
2 x
M
11
(xi x )2
(xj )2 f j
2 x
i 1
4
3.0
5
3.5
6
4.0
5
4.5
4
5.0
3
5.5
2
6.0
1
x 频率p( )
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
我们分别绘制总体分布图和抽样分布图：
P(x)
x
P( x )
x的分布
x 的分布
x
从这两个分布图中我们可以看到，在本例中，虽 然总体服从均匀分布，但经过抽样平均后，样本平 均数的抽样分布是对称的
重复抽样
AA
AB
AC
AD
N n = 42
BA
BB
BC
BD
=16 (个样本)
CA
CB
CC
CD
D A DB
DC
DD
6.2.2 抽样分布
(sampling distribution)
1.抽样分布的概念 某个统计量对应的频率分布或概率分布
称为该统计量的抽样分布。 常用的抽样分布有样本平均数的抽样分布、
样本比率的抽样分布、样本方差的抽样分布。
M
j1
11
fj
j 1
(1.0 3.5)2 1 (1.5 3.5)2 2 ...... (6.0 3.5)2 1
1.46
1 2 ...... 2 1
2 x
2
2
2
n
1.46
3．
x 的抽样平均误差
Ex
M
(x )2
i 1
M
2 x
2
nn
4．修正系数 上述结论是在重复抽样的条件下得到的，如果是 有限总体且不重复抽样，当样本容量超过总体容 量的5%时，要对样本方差进行修正，修正系数为
N n N 1
这时样本方差为：
2 x
2
n
(N n) N 1
x 的抽样平均误差为：
Ex
2 x
(
N N
n 1
)
2 (N n)
n N 1 n
(N n) N 1
此公式说明，抽样平均误差与总体标准差成正比， 与样本容量成反比。（当总体标准差未知时，可 用样本标准差代替）
例：
某讨论小组有A,B,C,D四名同学，其统计学作业分数分别 为80，90，70，60分，现从中有放回地随机抽取两名 同学，试计算样本平均分数的抽样平均误差
第 6 章 统计量及其抽样分布
作者：中国人民大学统计学院 贾俊平
第 6 章 统计量及其抽样分布
学习目标
1. 了解统计量及其分布的几个概念 2. 了解由正态分布导出的几个重要分布 3. 理解样本均值的分布与中心极限定理 4. 掌握单样本比例和样本方差的抽样分布
6.1 统计量
6.1.1 参数和统计量
样本均值、样本比例、样本方差等都是统 计量
2. 统计量是样本的一个函数 3. 统计量是统计推断的基础
6.2 关于分布的几个概念
6.2.1 抽样方法 6.2.2 抽样分布 6.2.3 抽样分布的形态与中心极限定理
6.2.1抽样方法
重复抽样和不重复抽样 １.重复抽样：是指从N个总体单位中，抽取一个单
位进行观察、记录后放回去，然后再抽取下一个单 位，这n样连续抽取n个单位组成样本的方法，也称 回置式抽样。
M=N
２.不重复抽样：是指从N个总体单位中，抽取一个 单位进行观察、记录后，不再放回去，再抽取下一 个单位，这样连续抽取n个单位组成样本的方法。
例如：从A、B、C、D四个单位中，抽出两个单位构成 一个样本，问可能组成的样本数目是多少？
1.参数 参数是总体参数的简称，是反映总体数量特征 的指标，其数值是唯一的、确定的，但往往是未
知的。最常用的参数有总体均值（记为 ）、 总体比率（记为 ）和总体方差（记为 2）。
2.统计量 统计量是样本统计量的简称，是由样本中单位的变量
值计算得到的反映样本数量特征的指标，其数值是不确 定的，随机的。最常用的统计量有样本平均数（记
1）样本平均数的抽样分布
【例】假设一个总体包含6个单位，分别
是 x1 1, x2 2, x3 3, x4 4, x5 5, x6 6
。
采取重复抽样的方法，从中抽取2个单位组成
样本，试x 描述 的抽样分布。
解：首先考虑总体的分布情况。显然总体服 从均匀分布：
x
1
2
3
4
5
6
P(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
取n＝2个单位组成样本，一共可以抽取 个样本，对应的可以计算出36个 。M 62 36
表 所有容量为2的样本及其平均数
xi , x取
5
6
1
1，1 （1.0）
2，1 （1.5）
3，1 （2.0）
4，1 （2.5）
5，1 （3.0）
6，1 （3.5）
2
1，2 （1.5）
2，2 （2.0）
3，2 （2.5）
4，2 （3.0）
5，2 （3.5）
6，2 （4.0）
第二次抽取
3
1，3 （2.0）
2，3 （2.5）
3，3 （3.0）
4，3 （3.5）
5，3 （4.0）
6，3 （4.5）
4
1，4 （2.5）
2，4 （3.0）
3，4 （3.5）
4，4 （4.0）
5，4 （4.5）
总体均值为：
N
i1 xi 1 2 3 4 5 6 3.5
N
6
总体方差为：
N
2 i1 (xi )2 (1 3.5)2 (2 3.5)2 (3 3.5)2 (4 3.5)2 (5 3.5)2 (6 3.5)2
N
6
2.92
采取重复抽样的方法从N＝6x个单位中抽