《高等代数》（上）期末试卷（A ）
一、填空题（每空3分，共15分）
1．设方阵1112223
3
3b x c A b x c b x c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1
112
223
3
3b y c B b y c b y c ⎡⎤
⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
，且2,3A B =-=， 则行列式2A B += .
2.已知A 是一个34⨯矩阵，且秩()2A =，而102020103B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则秩()BA = . 3. 多项式2005
20042
322006()(54)31(8112)f x x x x x x ⎡⎤=--+-+⎣⎦
的所有系数之和
＝ ，常数项＝ .
4. ()f x 为多项式，用1x -除时余式为3，用3x -除时余式为5，则用(1)(3)x x --除时余式为 .
二、选择题（每题3分，共12分）
1．设n 维向量组12345,,,,ααααα的秩为3，且满足135230,ααα+-=
242,αα=则向量组的一个极大无关组为（ ）
A ． 125,,ααα；
B ． 124,,ααα； C. 245,,ααα； D. 135,,ααα. 2. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ ）
A ． 当m n >时，必有行列式0A
B ≠； B ． 当m n >时，必有行列式0AB =；
C ． 当n m >时，必有行列式0AB ≠；
D ． 当n m >时，必有行列式0AB =.
3．设,A B 都是可逆矩阵，则矩阵0A C B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为（ ）
A ． 1
1
10A C
B ---⎡⎤
⎢⎥⎣⎦； B ． 1110B C A ---⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；
C ． 1
11
10A A CB B ----⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦； D ．11110A B CA B ----⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
. 4.已知()p x 是数域P 上的不可约多项式，(),()[],f x g x P x ∈ 则下列命题中错误的是（ ）
A ．若()|(),p x f x 则((),())1p x f x =；
B ．若((),())1,p x f x =则()|()p x f x ；
C ．若()()(),p x f x g x 且()|(),p x f x 则((),())1p x g x ≠；
D ．若()()(),p x f x g x 则((),())1f x g x =.
三、计算题（共51分）
1. (12分)计算行列式111212122212
n n n n n n
a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ------=
---.
2. （15分）,a b 取什么值时，线性方程组1234512345
234512345132322635433x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x b
++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩
有解？在有解的情形，求一般解.
3．（12分）已知AX B X =+,其中012114210A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 112341B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求矩阵.X 4.（12）设 5
4
3
2
()2101616146f x x x x x x =-+-+-，
分别求()f x 在复数域、实数域和有理数域上的标准分解式. 四、证明题（共22分）
1. （12分）设*η 是非齐次线性方程组AX β=的一个解，12,,,n r ξξξ-是对应的齐
次线性方程组0AX =的一个基础解系，证明：
（1）12*,,,,n r ηξξξ-线性无关；
（2）12*,*,*,
,*n r ηηξηξηξ-+++线性无关.
（2、3题任意选作一题，10分）
2.设,A B 为n 阶矩阵，2
2
,,A A B B ==证明：2
()A B A B +=+当且仅当
0.AB BA ==
3．设(),()f x g x 是数域P 上的多项式，()f x 与()g x 的最小公倍式指的是[]P x 中满足以下条件的一个多项式():m x （a ）()()f x m x 且()()g x m x ；
（b ）如果[][]h x P x ∈且()()f x h x ，()()g x h x ，那么()()m x h x .
（1）证明：[]P x 中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的；
（2）设(),()f x g x 都是最高次项系数是1的多项式，令[(),()]f x g x 表示()f x 与
()g x 最高次项系数是1的那个最小公倍式，证明：
()()()(),()[(),()].f x g x f x g x f x g x =。