§8.1多目标最优化问题的基本原理一、多目标最优化问题的实例 例1 梁的设计问题设用直径为1的圆木加工成截面积为矩形的梁，为使强度最大而成本最低， 问应如何设计梁的尺寸？解： 设梁的截面积宽和高分别为1x 和2x 强度最大=惯性矩最大22161x x = 成本最低=截面积最小=21x x 故数学模型为： min 1x 2xmax22161x x.s t 22121x x +=10x ≥，20x ≥ 例2 买糖问题 已知食品店有1A , 2A ,3A 三种糖果单价分别为4元∕公斤，2.8元∕公斤，2.4元∕公斤，今要筹办一次茶话会，要求用于买买糖的钱不超于20元，糖的总量不少于6公斤，1A ，2A 两种糖的总和不少于3公斤，问应如何确定买糖的最佳方案？ 解：设购买1A , 2A ,3A 三种糖公斤数为1x ，2x ，3x1A 2A 3A重量 1x 2x3x单价 4元∕公斤 2.8元∕公斤 2.4元∕公斤min 14x +22.8x +32.4x （用钱最省）max 1x +2x +3x （糖的总量最多）.st 14x +22.8x +32.4x 20≤ (用钱总数的限制)1x +2x +3x 6≥（用糖总量的要求）1x +2x3≥（糖品种的要求）1x ，2x ，3x 0≥是一个线性多目标规划。
二、 多目标最优化的模型12min ()((),(),.....())T m V F x f x f x f x -=.st ()0g x ≥()0h x ≥多目标规划最优化问题实际上是一个向量函数的优化问题，当m=1,多目标优化就是前面讲的单目标优化问题 三、解的概念1.序的概念12,.....()Tm a a a a = 12,.....()Tmb b b b =（1）b a =⇔a iib = 1,2....i m = （2）a b ≤⇔a i ib ≤ 1,2....i m = 称a 小于等于b（3）a b <=⇔a i ib ≤ 且∃1≤j ≤m ，使a j j b ≠，则a 小于向量b（4）a <b ⇔a i ib < 1,2....i m = 称a 严格小于b绝对最优解：设多目标最优化问题的可行域为D ，*x ∈D ,如果对x ∀D ∈,都有*()()F F x x <,则称*x 为多目标最优化的绝对最优解，称绝对最优解的全体为绝对最优解集，记ab R ，absolute —绝对 有效解：可行域为D ，*x ∈D ,如果不存在x D ∈,使*()()F F x x <=，则称*x 为有效解，也称pareto 最优解，称有效解的全体为有效解集，记pa R 是由1951年T.C.Koopmans 提出的。
弱有效解：可行域为D ， *x ∈D ,如果不存在x D ∈,使*()()F F x x <，则称*x 为弱有效解，记wp R，若有效解是1959年kanlin 提出的。
四、解的性质：定理8.1 对于多目标最优化问题，总有ab R ⊆pa R ，即绝对最优解必是有效解，并且当ab R φ≠，ab R =pa R 。
证明：先证ab R ⊆pa R 用反证法 设*x ∈abR，但*x ∉pa R .由有效解的定义可知,存在'x ∈D ，使*()()'F F x x <=，即存在一个1i m ≤≤，使(')(*)i i f x f x <，这与*x ∈ab R 矛盾，所以*x ∈pa R ，即ab R ⊆pa R .当ab R φ≠，只需证明pa R ⊆ab R ，也用反证法，设"x ∈pa R ，使"x ∉ab R ，由于ab R φ≠，"x ∉ab R ，则存在一个x ∈ab R ，使()('')F x F x ≤，则至少存在一个i ，使1i m ≤≤，使得()('')i i f x f x <（否则()('')i i f x f x =，则()(")Fx Fx =，"x ∈ab R ），这与"x ∈pa R 矛盾（"x 是有效解表示找不到比"x 更好的点） 所以pa R ⊆ab R 综合ab R =pa R 。
定理8.2 对于多目标最有优化问题，总有pa R ⊆wp R ，即有效解必是弱有效解.证明：用反证法，设*x ∈pa R ，但*x ∉wp R ，由弱有效解的定义知，∃'x ∈p ,使(')(*)F x F x <，这与*x ∈pa R 矛盾，所以*x ∈wp R ，即pa R ⊆wp R . 定理8.3 如果记各分量目标函数()i f x 的最优解集为i R ，则有ab R =1mi i R =证明：设*x ∈ab R φ≠，则对x ∀D ∈，都有(*)F x ≤()F x ，所以对∀1,2....i m =，有(*)()i i f x f x ≤，即*x ∈i R ，这就证明*x ∈1mi i R = ，上述推到过程是可逆的，因此1m i i R = ⊆ab R ，从而ab R =1m i i R = ，当ab R φ≠，必有1mi i R = =φ，否则由已证1mi i R = ⊆ab R ，可知ab R φ≠。
定理8.4 如果记各分量目标函数()i f x 的最优解集为i R ，则有i R ⊆wp R ，并且当ab R φ≠，wp R =1mi i R = .证明：先证i R ⊆wp R 设'x ∈i R ，但'x ∉wp R ，由有效解的定义知，∃"x ∈D ，使('')(')F x F x <，即∀1,2....i m =，都有('')(')i i f x f x <，这与'x ∈i R 矛盾，所以'x ∈wp R ，即i R ⊆wp R当ab R φ≠时，由i R ⊆wp R 可得1mi i R = ⊆wp R ，因此只需证明wp R ⊆1mi i R = ，用反证法，设'''x ∈wp R ，但'''x ∉1mi i R = ，即对1,2....i m =都有'''x ∉i R ，另一方面由ab R φ≠，可设*x ∈ab R ，则有*x ∈i R ，即(*)(''')i i f x f x <，所以(*)(''')F x F x <，这与'''x ∈wp R 矛盾，所以'''x ∈1mi i R = ，即wp R =1mi i R = .§8.2评价函数法评价函数法有：（1）理想点法（2）平方和加权法（3）极小极大法基本原理（4）乘除法基本原理（5）线性加权和法 一、理想点法12min (,.....)T m F f f f =.s t ()0g x ≥()0h x =设12****(,.....)m F f f f =为理想点，一般情况下，绝对最优解往往不存在。
1d = 11((()*))mp pi i i f x f =-∑ p 为范数一般p =2时1d =1221((()*))mi i i f x f =-∑例1 max 112()32f x x x =-+ max 212()43f x x x =+ .st 1212121802320x x x x x x +≤≤+≥，解：先求 max 112()32f x x x =-+.st 12121218102320x x x x x x +≤≤+≥，*x =（0, 6） max 1f =12max 212()43f x x x =+.st 1212121802320x x x x x x +≤≤+≥，*x =（3,4） max 2f =24故理想点为 F =（12，24）min221212()()12243243x x x x -+--++.st 12121218102320x x x x x x +≤≤+≥，解之得*x =(0.53,0.65)T 1f =9.72，2f =19.06可以证明理想点法求出的点是有效解。
例2 用理想点法求解 min 1124f x x -= min 2f =123x x +.st 1212121210230x x x x x x +≤≤+≥，解：min 1124f x x -=1212121210230x x x x x x +≤≤+≥，1(5,0)20f =1(12,0)48f = 1(0,12)12f =- 1101033(0,)f =- 所以min 112f =- 10x = 212x =2(5,0)5f = 2(12,0)12f = 2(0,12)36f = 2103(0,)10f =所以min 2f =5 15x = 20x = 故理想点F =（-103，0）min 221212(4)()123x x x x --++.st 1212121210230x x x x x x +≤≤+≥，求出12??x x ⎧⎪⎨⎪⎩== 2.平方和加权法平方和加权法也称虚拟目标法，共思想是构造一个很好的虚拟目标，然后它的目标函数值去逼近虚拟目标.先对每个目标函数()i x f 确定一个想象的最好值0i f ，并使各目标函数与它的差的平方和最小，常取()i x f 极小值得下届作为0i f 021(())(())mi i i i h F x w f x f ==-∑1i w =∑min221121f x x =++min 22212)2(f x x -=+.s t 120x x ≥，解： 1f =1， 2f =0()h x =221122(()1)(()0)w f x w f x -+- 取1w =0.5，2w =0.5min ()h x =2222221212)20.5()0.5()(x x x x -+++.s t 120x x ≥，利用MATLAB求解：1201x x ⎧⎪⎨⎪⎩== ()h x =1可以证明这种方法求出的解是有效解.3.极小—极大法1()(())max ii m f x h F x ≤≤= min (())h F x = 1())min (max i i mx Df x ≤≤∈ 例 min 1f =1102(4)x + min 2f =122(2)x -.s t 05x ≤≤解： ()()()()22212,01214,141012,452x x h x x x x x ⎧-≤≤⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩()min h x05x ≤≤11,2x h ⇒==当1x =时，10.5f =，212f =4.乘除法 买糖问题 1123min 4 2.8 2.4f x x x =++2123max f x x x =++.S T123123121234 2.8 2.42063,,0x x x x x x x x x x x ++≤++≥+≥≥()123121234 2.8 2.4min x x x f h x f x x x ++==++.st 123123121234 2.8 2.42063,,0x x x x x x x x x x x ++≤++≥+≥≥解之得：1240,3,3x x x ===5.线性加权和法线性加权和法是最容易理解的评价函数法，根据各目标函数的重要程度构造评价函数()()()1mi i i h F x w f x ==∑其中i w 为权函数，满足0,1,2,3......i w i m ≥=，且11mi i w ==∑然后求解 ()()()1m i n m i n mi i x Dx Di h F x w f x ∈∈==∑例1. ()()()2211min min 4,44102f x x x x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦.s t05x ≤≤ 利用线性加权和法求解解： ()()()2212444102h x x x x λλ=++-+（1） 若120.5,0.5λλ==时()()()22min 0.0540.2544h x x x x =++-+()0.610df x x dx=-= 51.66673x =≈0.3667h =（2） 若120.8,0.2λλ==，同理可得1.1111x =， 0.4977h = []0,2pa R =，两种做法的结果都属于有效解。