本章内容主要介绍： •如何建立目标规划模型 •如何求解 单目标模型只需简单确定一个目标，而将其 余的列为约束； 在构建多目标模型时，则需要对问题有较深的 理解，必须考虑更全面——虽然费时较多，却非 常有益，更切合实际。
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【例1】某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品。 已知制造甲产品需要A型配件5个，B型配件3个； 制 造乙产品需要A型配件2个，B型配件4个。 而在计划 期内该工厂只能提供A型配件180个，B型配件135个。 又知道该工厂每生产一件甲产品可获利润20元，一件乙 产品可获利润15元。问在计划期内甲、乙产品应该各安 排生产多少件，才能使总利润最大? 将该例所述情况列成表格: A B 利润（元）
（2）原材料的价格不断上涨，增加供应会使成本提高。 故不考虑再购买原材料。 （3）为提高效率，应充分利用设备，但不希望加班。 （4）市场虽发生变化，但利润应尽可能达到或超过56 元。 此时的决策是多目标决策问题——目标规划方 法是解决这类决策问题的方法之一。
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与建立目标规划模型有关的概念
1. 正、负偏差变量d+,dd+ : 决策值超过目标值的部分
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缺点：难处在于如何寻到合理的权系数。 例如建设高速公路时，既希望减少开支又希望降低 交通伤亡事故，此时能否用金钱来衡量一个人的生命 价值呢？ 2. 序列或优先级法： 序列或优先级法不是对每个目标加权，而是按照目标 的轻重缓急，将其分为不同等级再求解。 优点：避免了权系数的困扰，绝大多数决策者都能采 用，事实上他们在许多决策中也正是这样做的。 例如决定人员的提升时，许多单位是按其工作态度、 工作能力及对单位的有效价值等这样一个先后顺序来 进行评定的。
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x1 + 2x2 ≤ 10
约束条件 2x1 + x2 ≤11 x1 + 2x2 ≤ 10 x1 , x2 ≥ 0
8x1+10x2=c
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6
4
2
1
2
34Βιβλιοθήκη 56可用图解法求得最优决策方案为： x1*=4, x2*=3, z*=62
2x1 + x2 ≤11
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在实际决策时，还应考虑市场等一系列其他条件，如： （1）市场调查发现：Ⅰ的销量有下降趋势，故应考虑 适当减少Ⅰ的产量增加Ⅱ的产量，使Ⅰ＜ Ⅱ
安排生产：产品批量尽可能大
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一个计划问题实际上是一个多目标决策问题。只 是由于需要用线性规划来处理，计划人员才不得不 从众多目标要求中硬性选择其一，作为线性规划的 目标函数 。 但这样做的结果可能严重违背了某些部门的愿望， 因而使生产计划的实施受到影响；或者在一开始就 由于多方面的矛盾而无法从多个目标中选出一个目 标来。
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求解多目标决策常用的三种方法（或思想）：
1. 加权或效用系数法 2. 序列或优先级法 3. 有效解（非劣解）法
1. 加权法：
加权法把问题中的所有目标用统一的单位来度量（例 如用钱或效用系数） 这种方法的核心是把多目标模型化成单目标模型。 优点：适于计算机求解 （例如模型是线性的时候可用一般的单纯形法求解）
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1961年，查恩斯(A.Charnes)和库柏(W.w.CooPer)提 出目标规划(goal programming)，得到广泛重视和较快 发展。 目标规划在处理实际决策问题时，承认各项决策要求 (即使是冲突的)的存在有其合理性；在作最终决策时， 不强调其绝对意义上的最优性。 因此，目标规划被认为是一种较之线性规划更接近于 实际决策过程的决策工具 。
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目标规划引例： 利润最大化问题
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、 Ⅱ两种产品，已知 有关数据如下表所示： Ⅰ Ⅱ 拥有量 2 1 11 原材料 kg 1 2 10 设备台时 hr 8 10 利润 元/件 试求获利最大的方案。
解：这是一个单目标规划问题，可用线性规划模型表 述为：
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目标函数
max z = 8x1+10x2
甲 5 3 20
乙 2 4 15
现有配件 180 135
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设x1、x2分别表示生产甲、乙产品的件数，Z表示 总利润，当用线性规划来描述和解决这个问题时， 其数学模型为
max Z 20 x1 15 x2 s.t. 5 x1 2 x2 180 3x1 4 x2 135 x 0, x 0 1 2 x1 , x2为整数
d-
：决策值未达到目标值的部分
恒有 d+×d-=0
例如目标 z = 8x1+10x2 ≥56 可以变化为目标约束： 8x1+10x2+d1--d1+＝56 当d1 - ＝0时，目标约束与目标等价 绝对约束 2x1 + x2 ≤11 可以变换为目标约束： 2x1 + x2 +d2--d2+＝11 当d2+＝0时，目标约束与绝对约束等价
最优值：775 x1: 32
x2: 9
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但是，如果站在工厂计划人员的立场上对此进行评 价的话，问题就不是这么简单了。
第一，这是一个单目标最优化问题。但是，一般来 说，一个计划问题要满足多方面的要求。例如 财务部门 利润目标：利润尽可能大
物资部门
销售部门
节约资金：消耗尽可能小
适销对路：产品品种多样
计划部门
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第二，线性规划有最优解的必要条件是其可行解集 非空，即各约束条件彼此相容。但是，实际问题 有时不能满足这样的要求 。 例如，由于设备维修、能源供应、其它产品生产需 要等原因，计划期内可以提供的设备工时不能满足 计划产量工时需要 。 或由于储备资金的限制，原材料的最大供应量不 能满足计划产量的需要 。
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缺点：难处在于如何确切地定出各个目标的优先顺序 以获得满意的求解结果。 即没有任何其他方案 能在各个方面完全胜 出这个解
3. 有效解（或非劣解）法：
有效解（或非劣解）法“不会产生”象加权法或优先 级法所具有的局限性，它将找出全部有效解集（即非 劣解）以供决策者从中挑选。 缺点：难处在于实际问题中非劣解太多，难于一一推 荐给决策者。
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第三，线性规划解的可行性和最优性具有十分明确 的意义，但那都是针对特定数学模型而言的。 在实际问题中，决策者在作决策时，往往还会对 它作某种调整和修改，其原因可能是由于数学模 型相对于实际问题的近似性 建模时对实际问题的抽象 近似性
建模时未考虑到的新情况 决策者需要计划人员提供的不是严格的数学上的最 优解，而是可以帮助做出最优决策的参考性的计划， 或是提供多种计划方案。