形体优美的动物形体，如 马，骡、狮、虎、豹、犬等， 凡看上去健美的，其身体部分 长与宽的比例也大体上接近与 黄金分割如：蝴蝶身长与双翅 展开后的长度之比也接近0.618。 （如图1）蜗牛等动物的螺旋形 外壳从内到外的直径之比也接 近0.618, （如图2）而禽兽等高 级温动物的体温介乎37-39℃， 这一温度正是水的液态范围0-100℃，两个黄金点（0.618） 之一， 即100℃*0.328=38℃ 左 右。
的观察
1.5 < 1.6 < 1.6153 < 1.6176 < 1.6179 5 3 8 5 13 8 21 13 34 21 55 34 89 55 144 89 1.6180・・・
2 > 1.666 > 1.625 >
1.6190 > 1.6181
随着项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……
两千年前，希腊数学家考虑如下问题：
设线段 AB ，
A
C
AB AC 在 AB 上找一点 C ， 使得 AC CB
B
令 x AB AC , 于是有 x AC CB 1 CB 1 1 , AC CB AC AC x 可化为一元二次方程
x 2 x 1 0 .
1 5 1 5 . , x2 该方程的根为 x1 2 2
解答
可以将结果以列表形式给出：
1月 1 7月 13

2月 1 8月 21
3月 2 9月 34
4月 3
5月 5
6月 8
10月 11月 12月 55 89 144
因此，斐波那契问题的答案是 144对。
用数学归纳法，可推得斐波那契数列的通项公式：
1 1 5 n 1 5 n , un 2 2 5
3．方程 x2 + x – 1 = 0 的正根：
4．黄金矩形的宽长之比： 5 1 . 2 5．优选法的试验点： 5 1 0.618. 2 1 5 1 的值： . 6．连分数 x 1 2 1 1 1 1 ………………
5 1 . 2
谢谢大家！
如果每对兔子（一雄一 3、斐波那契数列与黄 雌）每月能生殖一对小 金分割 兔子（也是一雄一雌， 下同），每对兔子第一 兔子问题 个月没有生育能力，但 从第二个月以后便能每 月生一对小兔子。假定 这些兔子都不发生死亡 现象，那么从一对刚出 生的兔子开始，一年之 后会有多少对兔子呢？
斐波那契(意，约1170-1250)
经过多年的总结分析，人们发现， 在人体中也包含着多种“黄金分割” 的比例因素，至少可以找出18个“黄 金点”（如：脐为头顶至脚底之分割 点、喉结为头顶至脐分割点、眉间点 为发缘点至颏下的分割点等）、15个 “黄金矩形”（如躯干轮廓、头部轮 廓、面部轮廓、口唇轮廓等）、6个 “黄金指数”（如鼻唇指数是指鼻翼 宽度与口裂长之比、唇目指数是指口 裂长度与两眼外眦间距之比、唇高指 数是指面部中线上下唇红高度之比 等）、3个“黄金三角”（如外鼻正面 观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至 两侧口角点组成的三角等）。
黄金比，黄金数
4.得到黄金分割比的不同方法
从不同途径导出黄金比： 1． 黄金分割：
A
5 1 0.618 2 B C
AC CB 5 1 0.618 . 线段的分割点满足 AB AC 2
2．斐波那契数列前一项与后面一项的比的极限：
un 5 1 lim 0.618 n u 2 n 1
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …..
a1 a2 1, an 1 an an 1, n 2, 3, 4,...
斐波那契数列
斐波纳契数列的性质
1 1 2 3 5 8 13 21 后一项 前一项 34 55 89
144
・・・
各项分别为前项的多少倍？
1 < 1 1 2 1 3 2
在植物世界，许多植物都体现出“黄金分割”原理。例如：雏菊花冠 中的小花、向日葵果盘内的种子、蔷薇花的片片花瓣、梨树主干上的新 枝，都是转过137.50776……度，才抽出一枝又一枝来。许多植物叶片、 花瓣以及松果壳瓣，从小到大的序列是以0.618：1的近似值排列的。植物 为什么会不谋而合地呈现黄金分割现象呢？原来，它们都是为了最大限 度地接受阳光的照射，保留宽敞的空间进行呼吸，更有利于接受雨露的 滋润。能更好地生长结实，繁衍后代。
只要留心，就会在生活的方方面面发现其“魅影”， 如果我们灵活地加以运用，将大大提高我们的生活质量。
例如，根据广泛调查，所有让人感到赏心悦目的矩形，包括电视屏 幕、写字台面、书籍、门窗等，其短边与长边之比大多为0.618。甚至连 火柴盒、国旗的长宽比例，都恪守0.618比值。在音乐会上，报幕员在舞 台上的最佳位置，是舞台宽度的0.618之处；最有趣的是，在消费领域中 也可妙用0.618这个“黄金数”，获得“物美价廉”的效果。据专家介绍， 在同一商品有多个品种、多种价值情况下，将高档价格减去低档价格再 乘以0.618，即为挑选商品的首选价格。对它的各种神奇的作用和魔力， 数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想 不到的作用。内含“黄金分割比”的五角星形状也非常耐人寻味，世界 上有将近40个国家（如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等）的国旗 上上
B
于是
AB 1 5 x1 1.618 , AC 2
AC 2 5 1 其倒数 0.618 . AB 1 5 2
即 C 点约在 AB 长度的 0.618 的位置上． 希腊数学家把这个几何问题里的点 C 叫作黄金分
割点，这个比值
称为黄金分割数．
AC 5 1 0.618 AB 2
如何找出黄金分割点
如图,已知线段AB按 照如下方法作图:
D
E
1.经过点B作BD⊥AB,
A C B
2.连接AD,在AD上截取 DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE. 则点C是线段AB的黄金分割点
黄金律历来被染上瑰丽诡秘的色彩，被人们称为“天然合理”的最 美妙的形式比例。随着人类对自然界（动物、植物、宇宙、人类自身） 的认识的日益深入，人类关于“黄金分割比”这一神奇比例的了解也越 来越丰富，人们发现自然界中这一神奇比例几乎无所不在。从低等的动 植物到高等的人类，从数学到天文现象中，几乎都暗含着这种比例结构。
起源：公元前6世纪--古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十 边形的作图，从而开始研究黄金分割。
发展：2000多年前,古希腊雅典学派---计算黄金分割最简单的方法，是 计算斐波契数列1，1，2，3，5，8，13，21，...后二数之比 2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值。称为“中外比”。 形成： 公元前300年前后--欧几里得撰写《几何原本》系统论述了黄金 分割，成为最早的有关黄金分割的论著。