2013年陕西省西安市西工大附中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2010•陕西）复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．解答：解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．2．（5分）（2008•天津）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．解答：解：A、B、D的反例如图．故选C．点评：本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含义及空间想象能力．3．（5分）（2010•怀柔区模拟）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．分析：由等差数列的性质求解．解答：解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2++a7==7a4=28故选C点评：本题主要考查等差数列的性质．4．（5分）设函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]．若从区间[﹣5，5]内随机选取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f（x0）≤0的概率为（）A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2考点：几何概型；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的不等式解出解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，由f（x0）≤0，得到x2﹣x﹣2≤0，解得：﹣1≤x≤2，∴P==0.3，故选C．点评：本题主要考查了几何概型，以及一元二次不等式的解法，概率题目的考查中，概率只是一个载体，其他内容占的比重较大，属于基础题．5．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析： 通过三视图复原的几何体的形状，结合三视图的数据求出几何体的体积． 解答：解：由题意可知，三视图复原的几何体是三棱锥，三棱锥的底面是等腰三角形，底边的边长是1，高为1，三棱锥的一个侧面垂直底面，并且三棱锥的高为1，所以三棱锥的体积是：=．故选C ． 点评： 本题考查三棱锥的三视图与几何体的体积的求法，考查空间想象能力．6．（5分）（2008•深圳二模）过点P （4，2）作圆x 2+y 2=4的两条切线，切点分别A ，B ，O 是坐标原点，则△AOB 外接圆的方程为（ ）A ． （x ﹣4）2+（y ﹣2）2=20B ． （x ﹣2）2+（y ﹣1）2=5C ． （x+4）2+（y+2）2=20D ． （x+2）2+（y+1）2=5考点： 圆的标准方程． 专题： 计算题；转化思想． 分析： 由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP 的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP ，△AOB 外接圆就是四边形AOBP 的外接圆． 解答：解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP 有一组对角都等于90°， ∴四边形AOBP 的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP ，OP 的中点为（2，1）， OP=2，∴四边形AOBP 的外接圆的方程为 （x ﹣2）2+（y ﹣1）2=5，∴△AOB 外接圆的方程为 （x ﹣2）2+（y ﹣1）2=5， 故选 B ． 点评： 本题考查圆的标准方程的求法，把求△AOB 外接圆方程转化为求四边形AOBP 的外接圆方程，体现了转化的数学思想．7．（5分）抛物线y=﹣2x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ． B ． C ． D ．考点： 抛物线的简单性质． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：由抛物线的定义，根据点M 到焦点的距离为1，可推断出M 到准线距离也为1．利用抛物线的方程求得准线方程，进而可求得M 的纵坐标． 解答： 解：∵抛物线可化成x 2=﹣y ，∴可得它的准线为y=，根据抛物线的定义，可知M 到焦点的距离为1，则M 到准线距离也为1． ∴M 点的纵坐标为﹣1=﹣．故选：D 点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．在解决抛物线有关问题中，凡涉及点到焦点、准线的距离问题时，一般是利用抛物线的定义来解决．8．（5分）设，求a 2+a 4+…+a 2n 的值（ ）A．3n B．3n﹣2 C．D．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：分别令x=1，﹣1，0，代入展开式，即可求得结论．解答：解：令x=1，则（1+1+12）n=a0+a1+…+a2n①令x=﹣1，则（1﹣1+1）n=a0﹣a1+…+a2n②∴①+②得2（a0+a2+a4+…+a2n）=3n+1∴a0+a2+a4+…+a2n=令x=0，则a0=1，∴a2+a4+…+a2n=﹣1=故选C．点评：本题考查二项展开式，考查学生的计算能力，属于基础题．9．（5分）已知函数，则其图象的下列结论中，正确的是（）A．关于点中心对称B．关于直线轴对称C．向左平移后得到奇函数D．向左平移后得到偶函数考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用正弦函数的性质对A，B，C，D个个选项逐一分析即可求得答案．解答：解：对于A，y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣），其对称中心的纵坐标为0，故排除A；对于B，当x=时，y=0，既不是最大值1，也不是最小值﹣1，故可排除B；对于C，y=f（x）=﹣sin（2x﹣），向左平移后得到：y=f（x+）=﹣sin[2（x+）﹣]=﹣sin2x，为奇函数，正确；可排除D．故选C．点评：本题考查正弦函数的性质及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握正弦函数的性质是解决问题的关键，属于中档题．10．（5分）已知可导函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）和e a f（0）大小关系为（）A．f（a）＜e a f（0） B．f（a）＞e a f（0）C．f（a）=e a f（0）D．f（a）≤e a f（0）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：设函数f（x）=e2x，则导函数f′（x）=2•e2x，显然满足f'（x）＜f（x），由f（a）=e2a，e a f（0）=e a，比较得出结论．解答：解：由题意知，可设函数f（x）=e2x，则导函数f′（x）=2•e2x，显然满足f'（x）＜f（x），f（a）=e2a，e a f（0）=e a，当a＞0时，显然 e2a＞e a ，即f（a）＞e a f（0），故选 B．点评：本题考查求复合函数的导数的方法，以及指数函数的单调性，利用构造法求解是我们选择题常用的方法．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．11．（5分）已知函数则f（2013π）= 2 ．考点：定积分．专题：计算题．分析：利用微积分基本定理先求出f（a），然后把x=2013π代入即可求解解答：解：f（a）=sinxdx=﹣cosx=﹣cosa+1∴f（2013π）=﹣cos2013π+1=2故答案为：2点评：本题主要考查了积分基本定理的简单应用，熟练掌握微积分基本定理是解题的关键．12．（5分）在如图所示的算法流程图中，若输入m=4，n=6，则输出a= 12 ，i= 3 ．考点：循环结构．专题：阅读型；图表型．分析：根据题目给输入的m和n的值及循环变量i的赋值，先执行一次运算，然后判断，不满足条件循环体，满足条件结束循环．解答：解：输入的m、n的值分别为4和6，给i赋值1．执行a=m×i=4×1=4；6不能整除4，i=i+1=1+1=2，a=4×2=8；6不能整除8，i=i+1=2+1=3，a=4×3=12；6能整除12，输出a和i的值分别为12和3．故答案为12 3．点评：本题考查了直到型循环结构，直到型循环是先执行后判断，直到条件满足结束循环．13．（5分）当x，y满足时，则t=x﹣2y的最小值是﹣4 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据题意，首先画可行域，再分析可得t为目标函数纵截距一半的相反数，最后画直线0=x﹣2y，平移直线过A（0，2）时t有最小值即可．解答：解：画可行域如图，z为目标函数t=x﹣2y，可看成是直线t=x﹣2y的纵截距一半的相反数，画直线0=x﹣2y，平移直线过A（0，2）点时，t有最小值﹣4，故答案为：﹣4．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．14．（5分）（2013•镇江一模）观察下列等式：，，，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，= ．考点：归纳推理．专题：压轴题；规律型．分析：由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为1，减数为，由此即可得到结论．解答：解：由已知中的等式，，，，…我们可以推断：对于n∈N*，=故答案为：点评：本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．15．（5分）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A．（选修4﹣5 不等式选讲）若任意实数x使m≥|x+2|﹣|5﹣x|恒成立，则实数m的取值范围是[7，+∞）；B．（选修4﹣1 几何证明选讲）如图：EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是99°；C．（选修4﹣4坐标系与参数方程）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是 1 ．考点：简单曲线的极坐标方程；弦切角；绝对值不等式．专题：计算题；压轴题．分析：A．构造函数y=|x+2|﹣|5﹣x|，根据绝对值的几何意义，我们易得到函数的值域，根据不等式m≥|x+2|﹣|5﹣x|恒成立，则y max≤k，我们可以构造关于m的不等式，进而得到m的取值范围．B．根据切线长定理得EC=EB，则∠ECB=∠EBC=67°，再根结合内接四边形的对角互补得∠A=∠ECB+∠DCF=67°+32°=99°．C．把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，将此距离和圆的半径作对比，得出结论．解答：解：A：令y=|x+2|﹣|5﹣x|，则y∈[﹣7，7]若不等式m≥|x+2|﹣|5﹣x|恒成立，则y max≤k即k≥7．B：∵EB、EC是⊙O的切线，∴EB=EC，又∵∠E=46°，∴∠ECB=∠EBC=67°，∴∠BCD=180°﹣（∠BCE+∠DCF）=180°﹣99°=81°；∵四边形ADCB内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=180°﹣81°=99°．C：直线ρcos（θ﹣）=即ρcosθ+ρsinθ=，化为直角坐标方程为 x+y﹣2=0，圆ρ=2 即 x2+y2=4，圆心到直线的距离等于=＜2（半径），故直线和圆相交，故直线和圆有两个交点．故答案为：[7，+∞）；99°； 2．点评：A题考查的知识点是绝对值不等式，其中熟练熟练绝对值的几何意义，并分析出绝对值函数的值域是解答此类问题的关系，本题也可以用零点分段法，将构造的函数表示为分段函数，然后求出值域，但过程较为复杂．B题综合考查了切线长定理、圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等知识．C题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，求出圆心到直线的距离，是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（2010•上海）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，（12分）16．，．（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．分析：（1）利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的边和角之间的关系，利用余弦定理变形得到三角形是等腰三角形．（2）利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积．解答：证明：（1）∵m∥n∴asinA=bsinB即a•=b•．其中R为△ABC外接圆半径．∴a=b∴△ABC为等腰三角形．（2）由题意，m•p=0∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0∴a+b=ab由余弦定理4=a2+b2﹣2ab•cos∴4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab∴ab2﹣3ab﹣4=0∴ab=4或ab=﹣1（舍去）∴S△ABC=absinC=×4×sin=点评：向量是数学中重要和基本的概念之一，它既是代数的对象，又是几何的对象，作为代数的对象，向量可以运算，而作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长度等几何度量问题．17．（12分）在一次环保知识竞赛中，有6道选择题和2道判断题放在一起供抽取，某支代表队要抽3次，每次只抽一道题回答．（Ⅰ）不放回的抽取试题，求恰好在第三次抽到判断题的概率；（Ⅱ）有放回的抽取试题，求在三次抽取中抽到判断题的个数ξ 的概率分布及ξ 的期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据题意，有6道选择题和2道判断题放在一起供抽取，且不放回抽取，故可求恰好在第三次抽到判断题的概率；（Ⅱ）抽到的试题数ξ的可取值k=0，1，2，3．由ξ～B（3，0.2），能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．解答：解：（Ⅰ）根据题意，有6道选择题和2道判断题放在一起供抽取，且不放回抽取，故恰好在第三次抽到判断题的概率为；（Ⅱ）∵有8道试题，其中6道选择题和2道判断题，某支代表队要抽3次，每次只抽一道题回答，有放回的抽取，∴抽到的试题数ξ～B（3，0.25）∴P（ξ=k）=C3k×0.25k×0.753﹣k（k=0，1，2，3）∴ξ的分布列是ξ0 1 2 3P数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题的关键是判断出抽到的试题数ξ～B（3，0.25）．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=PA=2，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）证明AD⊥平面PQB，再证明平面PQB⊥平面PAD即可；（2）建立空间直角坐标系，求出M的坐标，进而可求平面MQB、平面CQB的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．解答：（1）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴AD⊥PQ又∵∠BAD=60°，底面ABCD为菱形，Q为AD的中点，∴AD⊥BQ∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（2）解：以Q为空间坐标原点，直线DA为x轴，直线QB为y轴，直线QP为z轴建立空间直角坐标系，则；∵，∴在平面MQB中，，，设平面MQB的法向量为=（x，y，z），则∴平面MQB的法向量为而平面CQB的法向量，设二面角M﹣BQ﹣C的夹角是θ，∴=﹣，∴θ=60°．点评：本题考查面面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键．19．（12分）设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=2﹣2a n（n∈N*）．（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设b n=（1﹣a n）（1﹣a n+1），求数列{b n}的前n项和S n．考数列的求和；等差关系的确定．点：综合题；等差数列与等比数列．专题：分析： （Ⅰ）由已知，令n=1可求T 1，然后利用已知变形可得：T n •T n ﹣1=2T n﹣1﹣2T n （n≥2），变形即可证明（Ⅱ）由等差数列，可求，进而可求a n ，代入即可求解b n ，结合数列的特点考虑利用裂项求和 解答： 解：（Ⅰ）∵T n =2﹣2a n ∴T1=2﹣2T 1 ∴ ∴（1分）由题意可得：T n •T n ﹣1=2T n ﹣1﹣2T n （n≥2），所以（6分）∴数列是以为公差，以为首项的等差数列（Ⅱ）∵数列为等差数列，∴，∴，（8分）∴（10分），∴==（12分）点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式及数列的裂项求和方法的应用．20．（13分）设函数f （x ）=x 2﹣mlnx ，h （x ）=x 2﹣x+a ．（1）当m=2时，若方程f （x ）﹣h （x ）=0在[1，3]上恰好有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使函数f （x ）和函数h （x ）在公共定义域上具有相同的单调区间？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的零点． 专题： 计算题；导数的概念及应用． 分析：（1）构造函数g （x ）=x ﹣2lnx ，确定函数在[1，3]上的单调性，即可求实数a 的取值范围；（2）求得函数f（x）和函数h（x）在单调递减；单调递增，求导函数，即可得到结论．解答：解：（1）f（x）﹣h（x）=0，等价于x2﹣2lnx=x2﹣x+a，即a=x﹣2lnx 令g（x）=x﹣2lnx，则∴x∈[1，2]时，g′（x）≤0，函数g（x）=x﹣2lnx在[1，2]内单调递减；x∈[2，3]时，g′（x）≥0，函数g（x）=x﹣2lnx在[2，3]内单调递增．又因为g（1）=1，g（2）=2﹣2ln2，g（3）=3﹣2ln3故2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3（2）∵h（x）=x2﹣x+a在单调递减；单调递增∴f（x）=x2﹣mlnx也应在单调递减；单调递增∵，∴当m≤0时，f（x）=x2﹣mlnx在（0，+∞）单调递增，不满足条件；当m＞0且，即，函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调区间．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）（2013•滨州一模）已知椭圆C的离心率e=，长轴的左右端点分别为A1（﹣2，0），A2（2，0）．（I）求椭圆C的方程；（II）设直线x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（I）设椭圆C的方程为，由，知，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（II）取m=0，得P（1，），Q（1，﹣），直线A1P的方程是，直线A1P的方程是，直线A2Q的方程为是交点为．若，由对称性可知，若点S在同一条直线上，由直线只能为l：x=4．解答：解：（I）设椭圆C的方程为，∵，∴，b2=1，∴椭圆C的方程为．（II）取m=0，得P（1，），Q（1，﹣），直线A1P的方程是，直线A1P的方程是，直线A2Q的方程为是交点为．若，由对称性可知，若点S在同一条直线上，由直线只能为l：x=4．以下证明对于任意的m，直线A1P与A2Q的交点S均在直线l：x=4上，事实上，由，得（my+1）2+4y2=4，即（m2+4）y2+2my﹣3=0，记P（x1，y1），Q（x2，y2），则，记A1P与l交于点S0（4，y0），由，得，设A2Q与l交于点S‘0（4，y′0），由，得，∵===，∴y0=y′0，即S0与S‘0重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线l：x=4上．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价变换．注意对称性的合理运用．。