x ( k +1)
=
x(k)
−
ω

A(
x
(
k
+1
)
+ 2
x(k)
)
−
b
ω >0 , k = 0,1,2,⋯
对任意初始向量 x (0) ， x (k+1) 是否收敛到方程组 Ax = b 的解？为什么？
西北工业大学考试试题（卷）-计算方法二
1 填空 1）. 近似数 x* = 0.0142 关于真值 x = 0.0139 有__为有效数字。
0
试求满足插值条件的四次多项式 p(x).
6 设有如下的常微分方程初值问题

dy dx
=
x ,1 < y
x ≤ 1.4
y(1) = 1
1）写出每步用欧拉法预估，用梯形法进行一次校正的计算格式。 2）取步长 0.2 用上述格式求解。
∫ 7 设有积分 I = 0.6 e x2 dx 0
1）取 7 个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些点出的值（保留到小数 点后 4 位） 2）用复化 simpson 公式求该积分的近似值。
（4） 取 3 ≈ 1.732 ，迭代过程 yn+1 = yn + 0.1 3 是否稳定？______（是或否）；
∫ （5） 求积公式 3 f ( x)dx ≈ 2 f (2) 有______次代数精度。 1
2．取初值 x0 = 1.6 ，用牛顿迭代法求 3.1 的近似值 xn+1 ，要求先论证收敛性，当
xn+1 − xn ≤ 10−5 时停止迭代。
3．用最小二乘法确定 y = a 1 + bx 2 中的常数 a 和 b ，使该函数曲线拟合 x
于下列四个点： （1 , 1.01）, (2 , 7.04) , (3 , 17.67) , (4 , 31.74)
(计算结果保留到小数点后第 4 位)。
5 1 − 2
4 设函数有二阶连续导数，在一些点上的值如下
xi
1.0 1.1
1.2
f (xi ) 0.01 0.11
0.24
写出中心差分表示的二阶三点微分公式，并由此计算 f '' (1.1) 。
5 已知五阶连续可导函数 y = f (x) 的如下数据
xi
0
1
f (xi )
0
1
f '(xi )
0
1
f ''(xi )
xi − 1.12 0.00 1.80 2.20 f ( xi ) − 1.10 − 0.50 0.90 1.70
用插值法求方程 f ( x) = 0 在区间 ( 0.00 , 1.80 ) 内的根的近似值。
（小数点后至少保留 4 位）。
∫ 7．设有积分 I = 1 dx
04+ x
（1）取五个等距节点（包括端点 0 和 1），列出被积函数在这些节点上的函 数值表（小数点后至少保留 4 位）；
2. 用迭代法求方程 x 2 + 2xe x + e2x = 0 在（-1，0）内的重根的近似值 xn+1 。要求 1）说明所用的方法为什么收敛；2）误差小于10−4 时迭代结束。
3．用最小二乘法确定 y = ax2 + b ln x 中的 a 和 b ，使得该函数曲线拟合于下面
四个点 (1.0,1.01), (1.5,2.45), (2.0,4.35), (2.5,6.71) (计算结果保留到小数点后 4 位)
8 用 LU 分解法求解线性代数方程组
1 1 2 3 x1 3
0 2
12
−
1 2
1 2 5
2
2 9

x2 x3 x4

=

1 3 7

9 当常数 c 取合适的值时，两条抛物线 y = x2 + x + c 与 y = 2 x 就在某点相切，
4．用乘幂法求矩阵 A = 1 6
0 1
1 −3

的按模最大的特征值
λ1
的第
k
次近似值
λ( k 1
)
及
相应的特征向量 x1 。要求取初始向量 u0 = (1 ,1 ,1)T ，且
λ λ − ≤ 10 (k )
(k −1)
1
1
−3 。
5．考查用 Seidel 迭代法求解方程组
9
x1
∫ ∑ 2）
适当选择求积节点和系数，则求积公式
1 −1
f (x)dx ≈
n
Ak
k =1
f (xk ) 的代数精确
度最高可以达到______次.
3） 设近似数 x1* = 0.0235 ， x2* = 2.5160 都是四舍五入得到的，则相对误差
er
(
x1*
x
* 2
)
的相对误差限______
4) 近似值 y* = 5 x* 的相对误差为 er (x* ) 的____ 倍。 5） 拟合三点 A(0,1), B(1,3)，C(2,2)的平行于 y 轴的直线方程为_____.
试取出试点 x0 = 0.3 ，用牛顿迭代法求切点横坐标。误差小于10−4 时迭代结束。
（2）用复化 Simpson 公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。 8．给定初值问题
y′ − x = 0 ， y(1) = 1 ， 1 < x ≤ 1.4 y
（1） 写出欧拉预测校正法的计算格式；
（2） 取步长 h =0.2，求 y(1.4) 的近似值。
9．设矩阵 A 对称正定。考虑迭代格式
−
2x2
+
x3
=
6
− −
x1 x1
+ 8x2 − x3 + x2 + 8x3
= =
8 −8
的收敛性，并取 x (0) = ( 1 , 0 , 0 )T ，求近似解 x (k+1) ，使
x − x (k +1)
(k)
i
i
< 10−3
(i = 1 , 2 , 3 )。
6．已知单调连续函数 y = f ( x) 的如下数据
西北工业大学考试试题（卷）-计算方法一
1．填空
（1）
设近似数
x* 1
=
1.2250
,
x
* 2
= 0.5168
都是“四舍五入”得来的，
则相对误差
er
(
x* 1
x
* 2
)
≤
_________;
（2）
矛盾方程组

x1
=
2.8
的最小二乘解为_________;
x1 = 3.2
（3） 近似数 x* = 0.01999 关于真值 x = 0.02000 有______位有效数字；