2015-2016学年江苏省盐城市阜宁中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．在复平面内，复数z=﹣1+i2015（i为虚数单位）对应点在第象限．2．抛物线y=2x2的焦点坐标是．3．设命题p的否定是“”，则命题p是．4．已知复数z满足（1+i）z=﹣1+5i（i为虚数单位），则|z|=．5．设实数x，y满足，z=2y﹣2x+4的最大值为m，最小值为n，则m+n=．6．曲线y=x+sinx在点（0，0）处的切线方程是．7．双曲线一个焦点F（5，0）到渐近线的距离为4，则其渐近线方程为．8．给定两个命题p，q，￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的．9．椭圆的一条准线方程为y=m，则m=．10．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，则猜想其四维测度W=．11．设P是椭圆上一点，过椭圆中心作直线交椭圆于A、B两点，直线PA、PB的斜率分别为k1，k2，且，则椭圆离心率为．12．设函数在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是．13．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（b＞0），若对任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值是．14．已知函数f（x）=e x﹣1+x﹣2（e为自然对数的底数）．g（x）=x2﹣ax﹣a+3．若存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知m∈R，命题p：方程表示双曲线，命题q：∃x∈R，x2+mx+m＜0．（1）若命题q为真命题，求m取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求m取值范围．16．（1）已知不等式ax2+bx﹣1＞0解集为{x|3＜x＜4}，解关于x的不等式；（2）已知函数，求f（x）的值域．17．（1）设a，b，c均为正数，求证：中至少有一个不小于2；（2）设a＞0，b＞0，a+b=1，试用分析法证明．18．某唱片公司要发行一张名为《春风再美也比不上你的笑》的唱片，包含《新花好月圆》、《荷塘月色》等10首创新经典歌曲．该公司计划用x（百万元）请李子恒老师进行创作，经调研知：该唱片的总利润y（百万元）与（3﹣x）x2成正比的关系，当x=2时y=32．又有∈（0，t]，其中t是常数，且t∈（0，2]．（Ⅰ）设y=f（x），求其表达式，定义域（用t表示）；（Ⅱ）求总利润y的最大值及相应的x的值．19．已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆方程；（2）过R（1，1）作直线l与椭圆交于A、B两点，若R是线段AB中点，求直线l方程；（3）过椭圆右焦点作斜率为k的直线l1与椭圆交于M、N两点，问：在x轴上是否存在点P，使得点M、N、P构成以MN为底边的等腰三角形，若存在，求出P点横坐标满足的条件；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=alnx+（x﹣c）|x﹣c|，a＜0，c＞0．（1）当a=﹣，c=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当c=+1时，若f（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象在点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））两处的切线分别为l1、l2．若x1=，x2=c，且l1⊥l2，求实数c的最小值．2015-2016学年江苏省盐城市阜宁中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．在复平面内，复数z=﹣1+i2015（i为虚数单位）对应点在第三象限．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用虚数单位i的运算性质化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：∵z=﹣1+i2015=﹣1+i4×503•i3=﹣1﹣i，∴复数z=﹣1+i2015对应点的坐标为（﹣1，﹣1），在第三象限．故答案为：三．2．抛物线y=2x2的焦点坐标是（0，）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将方程化成标准形式，即，求出p=，即可得到焦点坐标．【解答】解：抛物线y=2x2的方程即x2=y，∴p=，故焦点坐标为（0，），故答案为：（0，）．3．设命题p的否定是“”，则命题p是∃x＞0，．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p的否定是“”：则命题为：∃x＞0，．故答案为：∃x＞0，．4．已知复数z满足（1+i）z=﹣1+5i（i为虚数单位），则|z|=．【考点】复数求模．【分析】把已知等式变形，求出z，再由模的运算得答案．【解答】解：∵（1+i）z=﹣1+5i，∴，∴|z|=．故答案为：．5．设实数x，y满足，z=2y﹣2x+4的最大值为m，最小值为n，则m+n=12．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，由z=2y﹣2x+4得y=x+，利用数形结合即可的得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2y﹣2x+4得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点A（0，2）时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，z max=2×2+4=8．直线y=x+经过点B时，直线y=x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（1，1），此时z min=2﹣2+4=4，即z的最大值m=8，最小值n=4．即m+n=12，故答案为：12．6．曲线y=x+sinx在点（0，0）处的切线方程是y=2x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求切线斜率，然后利用点斜式方程求切线方程．【解答】解：因为y=x+sinx，所以y'=1+cosx，所以当x=0时，y'=1+cos0=1+1=2，即切线斜率k=2，所以切线方程为y﹣0=2（x﹣0），即y=2x．故答案为：y=2x．7．双曲线一个焦点F（5，0）到渐近线的距离为4，则其渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=5，即a2+b2=25，运用点到直线的距离公式可得b=4，a=3，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【解答】解：由题意可得c=5，即a2+b2=25，焦点F（5，0）到渐近线y=x的距离为4，可得=4，解得b=4，a=3，可得渐近线方程y=±x，即为y=±x．故答案为：y=±x．8．给定两个命题p，q，￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据逆否命题的等价性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若￢p是q的必要而不充分条件，则￢q是p的必要而不充分条件，即p是￢q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要条件．9．椭圆的一条准线方程为y=m，则m=5．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据准线方程为y=m，可以确定椭圆焦点在y轴上，先根据题意可知a和b的值，进而求得c，根据准线方程为y=±求得答案．【解答】解：依题意可知a2=m，b=2∴c=∴准线方程为y===m解得m=5故答案为5．10．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，则猜想其四维测度W=2πr4．【考点】类比推理．【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W′=V，从而求出所求．【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案为：2πr411．设P是椭圆上一点，过椭圆中心作直线交椭圆于A、B两点，直线PA、PB的斜率分别为k1，k2，且，则椭圆离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设A（m，n），B（﹣m，﹣n），又设P（x0，y0），分别代入椭圆方程，作差，再由直线的斜率公式，化简整理，结合离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设A（m，n），B（﹣m，﹣n），即有+=1，又设P（x0，y0），即有+=1，两式相减可得，+=0，即有=﹣，则k1=，k2=，k1k2==﹣=﹣，即为a=2b，c===a，即有离心率为e==．故答案为：．12．设函数在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求导函数，f（x）在[1，3]上为单调函数，则f′（x）≤0在[1，3]上恒成立，利用分离参数法，借助于导数，确定函数的最值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：求导数可得：f′（x）=x2+2ax+5∵f（x）在[1，3]上为单调递减函数，∴f′（x）≤0，即x2+2ax+5≤0在[1，3]恒成立，∴a≤﹣在[1，3]恒成立，设g（x）=﹣，则g′（x）=，令g′（x）=0得：x=或x=﹣（舍去）∴当1≤x≤时，g′（x）≥0，当≤x≤3时，g′（x）≤0∴g（x）在（1，）上递增，在（，3）上递减，∵g（1）=﹣3 g（3）=﹣，∴最小值为g（1）=﹣3∴当f′（x）≤0时，a≤g（x）≤g（1）=﹣3∴a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]．13．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（b＞0），若对任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值是2．【考点】二次函数的性质．【分析】根据条件可以得出，且a，c＞0，而，这样根据基本不等式以及不等式的性质即可得出的最小值．【解答】解：根据条件知，△=b2﹣4ac≤0，且a＞0；∴b2≤4ac；；∴c＞0，又b＞0；∴；∴的最小值为2．故答案为：2．14．已知函数f（x）=e x﹣1+x﹣2（e为自然对数的底数）．g（x）=x2﹣ax﹣a+3．若存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是[2，3]．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】求出函数f（x）的导数，可得f（x）递增，解得f（x）=0的解为1，由题意可得x2﹣ax﹣a+3=0在0≤x≤2有解，即有a==（x+1）+﹣2在0≤x≤2有解，求得（x+1）+﹣2的范围，即可得到a的范围．【解答】解：函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的导数为f′（x）=e x﹣1+1＞0，f（x）在R上递增，由f（1）=0，可得f（x1）=0，解得x1=1，存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，即为g（x2）=0且|1﹣x2|≤1，即x2﹣ax﹣a+3=0在0≤x≤2有解，即有a==（x+1）+﹣2在0≤x≤2有解，令t=x+1（1≤t≤3），则t+﹣2在[1，2]递减，[2，3]递增，可得最小值为2，最大值为3，则a的取值范围是[2，3]．故答案为：[2，3]．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知m∈R，命题p：方程表示双曲线，命题q：∃x∈R，x2+mx+m＜0．（1）若命题q为真命题，求m取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求m取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】（1）根据一元二次不等式的性质转化为判别式△＞0进行求解即可．（2）若命题p∧q为真命题，则命题p，q都为真命题，建立不等式关系即可．【解答】解：（1）若命题q为真命题，则判别式△=m2﹣4m＞0，即m＞4或m＜0．（2）若方程表示双曲线，则（m+1）（m﹣1）＜0，即﹣1＜m＜1．即p：﹣1＜m＜1，由（1）知q：m＞4或m＜0，若命题p∧q为真命题，则命题p，q都为真命题，即，得﹣1＜m＜0，即m取值范围是（﹣1，0）．16．（1）已知不等式ax2+bx﹣1＞0解集为{x|3＜x＜4}，解关于x的不等式；（2）已知函数，求f（x）的值域．【考点】其他不等式的解法．【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系进行转化求解即可．（2）根据基本不等式的性质进行转化求解．【解答】解：（1）∵不等式ax2+bx﹣1＞0解集为{x|3＜x＜4}，∴3，4是对应方程ax2+bx﹣1=0的两根，且a＜0，则3×4=﹣=12，即a=﹣，3+4=﹣=12a=7，则b=，则不等式式等价为≥0，即≥0，得﹣12＜x≤，即不等式的解集为（﹣12，]．（2）f（x）=x+=x﹣2++2，若x＞2，则x﹣2＞0，则f（x）=x﹣2++2≥2+2=2+8=10，当且仅当x﹣2=，即（x﹣2）2=16，x﹣2=4，x=6时取等号，若x＜2，则x﹣2＜0，则f（x）=x﹣2++2≤2﹣2=2﹣8=﹣6，当且仅当﹣（x﹣2）=﹣，即（x﹣2）2=16，x﹣2=﹣4，x=﹣2时取等号，综上f（x）≥10或f（x）≤﹣6，即函数的值域为（﹣∞，﹣6]∪[10，+∞）．17．（1）设a，b，c均为正数，求证：中至少有一个不小于2；（2）设a＞0，b＞0，a+b=1，试用分析法证明．【考点】综合法与分析法(选修）；反证法与放缩法．【分析】（1）假设都小于2，则a++b++c+＜6．再结合基本不等式，引出矛盾，即可得出结论．（2）寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止．【解答】证明：（1）假设都小于2，则a++b++c+＜6．∵a、b、c∈R+，∴a++b++c+=a+++b++c≥2+2+2=6，矛盾．∴中至少有一个不小于2．（2）要证成立，需证1+2a+2+1+2b≤8，∵a+b=1，∴只需证≤2，∵≤=2∴要证的不等式成立．18．某唱片公司要发行一张名为《春风再美也比不上你的笑》的唱片，包含《新花好月圆》、《荷塘月色》等10首创新经典歌曲．该公司计划用x（百万元）请李子恒老师进行创作，经调研知：该唱片的总利润y（百万元）与（3﹣x）x2成正比的关系，当x=2时y=32．又有∈（0，t]，其中t是常数，且t∈（0，2]．（Ⅰ）设y=f（x），求其表达式，定义域（用t表示）；（Ⅱ）求总利润y的最大值及相应的x的值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）设出正比例系数，把x=2，y=32代入函数关系式，求得正比例系数，则函数解析式可求，再由∈（0，t]求解分式不等式得x得取值范围；（Ⅱ）求出利润函数的导函数，由导函数的零点在不在定义域范围内研究原函数的单调性，并求函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）设y=k（3﹣x）x2，∵当x=2时，y=32，∴k=8，则y=24x2﹣8x3，∵∈（0，t]，∴，即，解①得：0＜x＜3．解②得：或x＞3．∴；（Ⅱ）由y′=﹣24x（x﹣2）=0，得x=0或x=2．若，即1≤t ≤2时，f （x ）在（0，2）单调递增，在（2，）上单调递减．∴y max =f （2）=32；若，即0＜t ＜1时，f ′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，）上为增函数．．综上述：当1≤t ≤2时，y max =f （2）=32；当0＜t ＜1时，．19．已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆方程；（2）过R （1，1）作直线l 与椭圆交于A 、B 两点，若R 是线段AB 中点，求直线l 方程；（3）过椭圆右焦点作斜率为k 的直线l 1与椭圆交于M 、N 两点，问：在x 轴上是否存在点P ，使得点M 、N 、P 构成以MN 为底边的等腰三角形，若存在，求出P 点横坐标满足的条件；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，即可得到椭圆方程； （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程，运用作差法和中点坐标公式和直线的斜率公式，计算即可得到所求直线的方程； （3）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），MN 的中点为G （x 0，y 0），l 1：y=k （x ﹣1），代入椭圆的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，设P （m ，0），两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可得到m 的范围．【解答】解：（1）由题意可得b=，e==，又a 2﹣c 2=b 2=3， 解得a=2，c=1，即有椭圆的方程为+=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则3x 12+4y 12=12， 3x 22+4y 22=12，相减可得3（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）+4（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=0， 由中点坐标公式可得x 1+x 2=2，y 1+y 2=2，可得AB的斜率为k==﹣=﹣，即有直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即为3x+4y﹣7=0；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为G（x0，y0），l1：y=k（x﹣1），代入椭圆的方程，可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，x1+x2=，可得x0=，y0=﹣，设P（m，0），k PG==﹣，即为=﹣m，解得m=，即有m∈（0，）．故存在，P点横坐标满足的条件为（0，）．20．已知函数f（x）=alnx+（x﹣c）|x﹣c|，a＜0，c＞0．（1）当a=﹣，c=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当c=+1时，若f（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象在点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））两处的切线分别为l1、l2．若x1=，x2=c，且l1⊥l2，求实数c的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，则只需求出f（x）的最小值即可；（3）由l1⊥l2知，，得到，分类讨论，再由导数与单调性的关系，即可得到实数c的最小值．【解答】解：函数，求导得．（1）当，时，，若，则恒成立，所以f（x）在上单调减；若，则，令f′（x）=0，解得或（舍），当时，f′（x）＜0，f（x）在上单调减；当时，f′（x）＞0，f（x）在上单调增．所以函数f（x）的单调减区间是，单调增区间是．（2）当x＞c，时，，而，所以当c＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（c，1）上单调减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调增．所以函数f（x）在（c，+∞）上的最小值为，所以恒成立，解得a≤﹣1或a≥1，又由，得a＞﹣2，所以实数a的取值范围是（﹣2，﹣1]．（3）由l1⊥l2知，，而，则，若，则，所以，解得，不符合题意；故，则，整理得，，由c＞0得，，令，则，t＞2，所以，设，则，当时，g ′（t ）＜0，g （t ）在上单调减；当时，g ′（t ）＞0，g （t ）在上单调增．所以，函数g （t ）的最小值为，故实数c 的最小值为．2016年7月9日。