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三角形中位线定理 知识讲解

三角形中位线定理【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念,掌握三角形的中位线定理.2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.要点诠释:(1)三角形有三条中位线,每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12,每个小三角形的面积为原三角形面积的14.(3)三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状(1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.(2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.(3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.(4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释:新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.(1)若原四边形的对角线互相垂直,则新四边形是矩形.(2)若原四边形的对角线相等,则新四边形是菱形.(3)若原四边形的对角线垂直且相等,则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、(2016•北京)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.(1)求证:BM=MN;(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.【思路点拨】(1)根据三角形中位线定理得MN=AD,根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC,由此即可证明.(2)首先证明∠BMN=90°,根据BN2=BM2+MN2即可解决问题.【答案与解析】(1)证明:在△CAD中,∵M、N分别是AC、CD的中点,∴MN∥AD,MN=AD,在RT△ABC中,∵M是AC中点,∴BM=AC,∵AC=AD,∴MN=BM.(2)解:∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=30°,由(1)可知,BM=AC=AM=MC,∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°,∵MN∥AD,∴∠NMC=∠DAC=30°,∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°,∴BN2=BM2+MN2,由(1)可知MN=BM=AC=1,∴BN=【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,属于中考常考题型.举一反三:【变式】如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上,B点坐标为(3,2),OB与AC交于点P,D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点,则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5;解:∵四边形OABC是矩形,∴OA=BC,AB=OC;BA⊥OA,BC⊥OC.∵B点坐标为(3,2),∴OA=3,AB=2.∵D、E、F 、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点,∴DE=GF=1.5; EF=DG=1.∴四边形DEFG的周长为(1.5+1)×2=5.2、如图,在△ABC中,已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,AH是高.(1)若BC=10,AH=8,则四边形ADEF的面积为.(2)求证:∠DHF=∠DEF.AFDCB【思路点拨】(1)由三角形面积公式可知:△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一,进而可求出四边形ADEF的面积.(2)首先证明四边形ADEF是平行四边形,进而可得∠DEF=∠DAF,再利用直角三角形的中线性质得线段相等,从而得角等,最终可得到∠DAF=∠DEF,即可证出∠DHF=∠DEF.【答案解析】(1)解:∵BC=10,AH=8,∴S△ABC=×8×10=40,∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的,∴四边形ADEF的面积=40﹣20=20,故答案为:20;(2)证明:∵D、E、F分别是△ABC各边中点,∴DE∥AC,EF∥AB,∴四边形ADEF是平行四边形,∴∠DEF=∠DAF,∵AH是△ABC的高∴△ABH、△ACH是直角三角形,∵点D、点F是斜边AB、AC中点,∴DH=DA,HF=AF,∴∠DAH=∠DHA,∠FAH=∠FHA,∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA,即∠DAF=∠DHF , ∴∠DEF=∠DHF .【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定,三角形的中位线定理,直角三角形的性质,解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF 与∠DAF=∠DEF .3、如图所示,在△ABC 中,M 为BC 的中点,AD 为∠BAC 的平分线,BD ⊥AD 于D ,AB =12,AC =18,求MD 的长.【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系,但由M 为BC 的中点联想到中位线,另有AD 为角平分线和垂线,根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ,D 为BN 的中点,DM 即为中位线,不难求出MD 的长度. 【答案与解析】解:延长BD 交AC 于点N .∵ AD 为∠BAC 的角平分线,且AD ⊥BN , ∴ ∠BAD =∠NAD ,∠ADB =∠ADN =90°,在△ABD 和△AND 中,BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩== ∴ △ABD ≌△AND(ASA) ∴ AN =AB =12,BD =DN .∵ AC =18,∴ NC =AC -AN =18-12=6, ∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点, ∴ DM =12CN =162⨯=3.【总结升华】当条件中含有中点的时候,可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来,进行联想,必要时添加辅助线,构造中位线等图形. 举一反三:【变式】如图所示,四边形ABCD 中,Q 是CD 上的一定点,P 是BC 上的一动点,E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点;当点P 在BC 边上移动的过程中,线段EF 的长度将( ).A.先变大,后变小 B.保持不变 C.先变小,后变大 D.无法确定【答案】B;解:连接AQ.∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点,∴ EF是△PAQ的中位线,即AQ=2EF.∵ Q是CD上的一定点,则AQ的长度保持不变,∴线段EF的长度将保持不变.4、我们给出如下定义:有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形.请解答下列问题:(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且CD=CA,点E、F分别为BC、AD的中点,连接EF并延长交AB于点G.求证:四边形AGEC是等邻角四边形;(2)如图2,若点D在△ABC的内部,(2)中的其他条件不变,EF与CD交于点H,图中是否存在等邻角四边形,若存在,指出是哪个四边形,不必证明;若不存在,请说明理由.【思路点拨】(1)运用中位线的性质,找出对应相等的角;(2)根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形.【答案与解析】解:(1)取AC的中点H,连接HE、HF∵点E为BC中点∴EH为△ABC的中位线∴EH∥AB,且EH=12AB同理FH∥DC,且FH=12DC∵AB=AC,DC=AC∴AB=DC,EH=FH∴∠1=∠2∵EH∥AB,FH∥DC∴∠2=∠4,∠1=∠3∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°,∠GEC+∠3=180°∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC是邻角四边形(2)存在等邻角四边形,为四边形AGHC.【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用.本题较灵活,要求学生能够把题中的条件转化成角,从而找出相等的角来解题.举一反三:【变式】如图,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,CD=3,则EF的长是()A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D;解:连接DE并延长交AB于H,∵CD∥AB,∴∠C=∠A,∠CDE=∠AHE,∵E是AC中点,∴AE=CE,∴△DCE≌△HAE,∴DE=HE,DC=AH,∵F是BD中点,∴EF是△DHB的中位线,∴EF=12 BH,∴BH=AB-AH=AB-DC=2,∴EF=1.类型二、中点四边形5、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH是正方形;(2)若AD=2,BC=4,求四边形EFGH的面积.【思路点拨】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等,然后由AC⊥BD入手,进行正方形的判断.(2)连接EG ,利用梯形的中位线定理求出EG 的长,然后结合(1)的结论求出2EH =92,也即得出了正方形EHGF 的面积. 【答案与解析】证明:(1)在△ABC 中,E 、F 分别是AB 、BC 的中点,故可得:EF =12AC ,同理FG =12BD ,GH =12AC ,HE =12BD , 在梯形ABCD 中,AB =DC ,故AC =BD ,∴EF=FG =GH =HE , ∴四边形EFGH 是菱形. 设AC 与EH 交于点M ,在△ABD 中,E 、H 分别是AB 、AD 的中点, 则EH∥BD, 同理GH∥AC, 又∵AC⊥BD, ∴EH⊥HG,∴四边形EFGH 是正方形. (2)连接EG . 在梯形ABCD 中,∵E、G 分别是AB 、DC 的中点, ∴EG=12(AD +BC )=3. 在Rt△EHG 中,∵222EH GH EG +=,EH =GH , ∴2EH =92,即四边形EFGH 的面积为92. 【总结升华】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理,解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH =HG =GF =FE ,这是本题的突破口. 举一反三:【变式】如图,E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点. (1)判断四边形EFGH 的形状,并说明你的理由;(2)连接BD 和AC ,当BD 、AC 满足何条件时,四边形EFGH 是正方形.【答案】解:(1)四边形EFGH 是平行四边形.理由:连接AC ,∵E、F分别是AB、BC的中点,∴EF∥AC,且EF=12 AC,同理,HG∥AC,且HG=12 AC,∴EF∥HG,且EF=HG,∴四边形EFGH是平行四边形;(2)当BD=AC,且BD⊥AC时,EFGH是正方形.理由:连接AC,BD,∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,∴EF=GH=12AC,EH=FG=12BD,EH∥BD,GH∥AC,∵BD=AC,BD⊥AC,∴EH=EF=FG=GH,EH⊥GH,∴四边形ABCD是菱形,∠EHG=90°,∴四边形EFGH是正方形.。

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