第二十一章 二重积分§1 二重积分概念教学目的 掌握二重积分的定义和性质． 教学内容 二重积分的定义和性质．(1) 基本要求：掌握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解有界闭区域上的连续函数的可积性．(2) 较高要求：平面点集可求面积的充要条件． 教学建议(1) 要求学生必须掌握二重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于二元函数可积的充要条件与定积分类似，这方面的内容可作简略介绍．(2) 对较好学生可详细讲述二元函数可积的充要条件的证明，并布置有关习题． 教学程序一、平面图形的面积（一）、内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念直线网T 分割平面图形P ，T 的网眼中小闭矩形i ∆的分类： （ⅰ）i ∆含的全是P 的内点,（ⅱ）i ∆含的全是P 的外点（不含P 的点）,（ⅲ）i ∆内含有P 的边界点, 记()T s P 为T 的第ⅰ类i ∆的面积的和． 记()T S P 为T 的第ⅰ和第三类i ∆的面积的和． 记P I =(){}T s P T sup ，称为P 的内面积．记P I =(){}T S P T inf ，称为P 的外面积．定义1 若平面图形P 的内面积P I 等于它的外面积P I ，则称P 为可求面积，并称其共同值P I =P I =P I 为P 的面积（约当，黎曼测度）定理21.1 平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给的0>ε，总存在直线网T ，使得()()ε<-T s T S P P . （2）证明 [必要性]设平面有界图形P 的面积为P I ．由定义1，有P I =P I =P I ．对任给的ε，由P I 及P I 的定义知道，分别存在直线网1T 与2T ，使得(),21ε->P P I T s ()22ε+<P P I T S ，记T 为由1T 与2T 这两个直线网合并的直线网，可证得()()T s T s P P ≤1，()()T S T S P P ≥2， (3)于是由（3）可得(),2ε->P P I T s ()2ε+<P P I T S ，从而得到对直线网T 有 ()()ε<-T s T S P P ，[充分性]对任给的0>ε，存在直线网T ，使得（2）式成立．但()()T S I I T s P P P P ≤≤≤，所以 ()()ε<-≤-T s T S I I P P P P ，由ε的任意性，因此P I =P I ，因而平面图形P 可求面积．推论 平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积0=P I ，即对任给的0>ε，存在直线网T ，使得，()ε<T S P ，或对任给的0>ε，平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖． 定理21.2 平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为零．证明 由定理21．1，P 可求面积的充要条件是：对任给的0>ε，存在直线网T ，使得()()ε<-T s T S P P ．由于()=T S K ()()ε<-T s T S P P ，所以也有()ε<T S K ．由上述推论，P 的边界K 的面积为零．定理21.3 若曲线K 为由定义在[]b a ,上的连续函数()x f 的图象，则曲线K 的面积为零证明 由于()x f 在闭区间[]b a ,上连续函数，从而一致连续．因而对任给的0>ε，总存在0>δ，当把区间[]b a ,分成n 个小区间[]i i x x ,1-()n i ,,1 =并且满足{}n i x x x i i i ,,1max 1 =-=∆-δ<时，可使在每个小区间[]i i x x ,1-上的振幅都成立a b i -<εω．现把曲线K 按自变量n x x x x ,,,10 =分成n 个小段，这时每一个小段都能被以i x ∆为宽，i ω为高的小矩形甩覆盖．由于这个小矩形面积的总和为∑∑===∆-<∆ni ni iiixab x11εεω，所以由定理21．1的推论即得曲线K 的面积为零．还可证明得到：由参量方程()()()βαψϕ≤≤==t t Y t x ,所表示的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积为零． 二、 二重积分的定义及其存在性背景：求某曲顶柱体的体积时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，利用求柱体的体积的方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．定义 设()y x f ,是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数，用任意曲线把D 分成n 个可求面积的小区域：,,,,21n σσσ∆∆∆ 以i σ∆表示i σ∆的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ，以i d 表示i σ的直径，称{}i n i d T ≤≤=1max 为分割T 的细度，在每一个i σ上任取一点（i i ηξ,），作和式： ∑=∆ni ii i f 1),(σηξ，称之为函数在上属于分割的一个积分和．定义2 设()y x f ,是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数，J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T ，当它的细度δ<T 时，属于T 的所有积分和都有εσηξ<-∆∑=J f Ni iii1),(，则称()y x f ,在D 上可积，数J 称为函数()y x f ,在D 上的二重积分，记作J =()⎰⎰Dd y x f σ,，其中()y x f ,称为二重积分的被积函数，y x ,称为积分变量，D 称为积分区域．几何意义：当()y x f ,0≥时，二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,在几何上表示以=z ()y x f ,为曲顶，D 为底的曲顶柱体的体积.直角坐标系下可表示为：()⎰⎰Dd y x f σ,=()⎰⎰Ddxdyy x f ,.可积的必要条件：()y x f ,在可求面积的区域D 上有界函数()y x f ,在可求面积的区域D 上有界时，T 是D 的一个分割，把D 分成个可求面积的小区域n σσ,,1 ，令()()y x f M iy x i ,sup ,σ∈=，()()y x f m iy x i ,inf ,σ∈=，()n i ,,1 =()y x f , 关于分割T 的上和与下和：()∑=∆=NI ii M T S σ,()∑=∆=NI ii m T s σ.定理21.4 ()y x f ,在D 上可积的充要条件是：()T S T 0lim →=()T s T 0lim →.定理21.5 ()y x f ,在D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T ，使得()()ε<-T s T S ．定理21.6 有界闭区域D 上的连续函数必可积．定理21.7 设()y x f ,是定义在有界闭区域D 上的有界函数．若()y x f ,的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则()y x f ,在D 上可积.证明 不失一般性，可设()y x f ,的不连续点全部落在某一条光滑曲线L上．记L 的长度为l ，于是对任给的ε>0，把L 等分成1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εl n 段： n L L ,,1 ，在每段i L 上取—点i P ，使段与其一端点的弧长为n l2，以i P 为中心作边长为ε的正方形i ∆，则i L ⊂i ∆，从而有 ni iL 1=∆⊂记ni i1=∆⊂∆，则∆为一多边形．设∆的面积为W ，那么()εεεεεεε+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=≤l l l n W 22211，现在把区域D 分成两部分．第一部分∆= D D 1．第二部分121D D D -=．由于()y x f ,在2D 上连续，根据定理21.6与定理21.5，存在2D 的分割2T ，使得()()ε<-22T s T S ．又记()()y x f M y x ,sup ,∆∈∆=，()()y x f m y x ,inf ,∆∈∆=，以T 表示由2T 与多边形∆的边界所组成的区域D 的分割，则有()()()()[][]W W m W M T s T S T s T S εε+<-+-<-∆∆22 ． ()()εεωωεωεε++=++<l l 1，其中ω是()y x f ,在D 上的振幅．由于()y x f ,在D 上有界，故ω是有限值．于是由定理21，5就证明了()y x f ,在上可积. 三、二重积分的性质二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下： 1. 若()y x f ,在区域D 上可积，k 为常数，则k ()y x f ,在D 上也可积，且()⎰⎰Dd y x kf σ,=k()⎰⎰Dd y x f σ,．2．若()y x f ,,()y x g ,在D 上都可积，则()y x f ,±()y x g ,在D 上也可积，且()()[]⎰⎰±Dd y x g y x f σ,,=()⎰⎰Dd y x f σ,±()⎰⎰Dd y x g σ,.3. 若()y x f ,在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则()y x f ,在1D 2D 也可积，且()⎰⎰21,D D d y x f σ=()⎰⎰1,D d y x f σ+()⎰⎰2,D d y x f σ.4．若()y x f ,与()y x g ,在D 上可积，且()y x f ,≤()y x g ,，()∈y x ,D ，则()⎰⎰Dd y x f σ,≤()⎰⎰Dd y x g σ,．5．若()y x f ,在D 上可积，则函数()y x f ,在D 上也可积，且()⎰⎰Dd y x f σ,≤()⎰⎰Dd y x f σ,.6. 若()y x f ,在D 上可积．且 m ≤()y x f ,≤M ， ()∈y x , D 则≤DmS ()⎰⎰Dd y x f σ,D MS ≤.这里D S 是积分区域D 的面积．7．(中值定理) 若()y x f ,在有界闭区域D 上连续，则存在()∈ηξ,D ，使得()⎰⎰Dd y x f σ,=()ηξ,f D S ，这里D S 是积分区域D 的面积．中值定理的几何意义：以D 为底，()())0,(,,≥=y x f y x f z 为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于在()y x f ,区域D 中某点()ηξ,的函数值()ηξ,f ． 作业 P217 1-5.。