系统可靠性冗余分配最优配置问题
随着科技的不断进步，人们对系统整体可靠性优化设计的要求越来越高。

为了改进一个给定基本系统的可靠性，设计工程师一般有两种选择：①增强单个元件的可靠度，如加大科研成本的投入，研制出可靠度更高的元件；②对不同阶段提供冗余，即对系统的同一阶段分配多个相同的元件（相当于备用元件），当其中一个元件发生故障时，其他新的元件可以代替故障元件进行工作，以减少故障时间。

而实验证明，当单个元件可靠度达到某个水平后，要想再继续增加单个元件的可靠度，其成本将呈指数增长。

因此，若提高元件可靠度至某个水平之后还希望继续提升，则只能对系统进行冗余。

即对系统的每个阶段进行重复配置元件,当系统发生故障时,冗余配置的部件介入并承担故障元件的工作,由此减少系统的故障时间。

当对系统各阶段进行冗余配置时，系统资源也会随着每个阶段冗余度的增加带来更多消耗。

即随着冗余度的增加，整个系统的成本、体积、重量、可靠度也都会有所增加。

一个系统所追求的最优配置是成本、体积、重量的尽可能小，可靠度的尽可能大，但一般情况下各项目标不能同时达到最优的，这时可靠性设计者就需要在这几个目标中进行权衡。

如下图所示，该系统是一个四阶串联的燃气轮机的超速监测系统原理图，k 1、k 2、k 3、k 4分别为待分配冗余的四个阶段，同一个阶段安装的元件是相同的。

要对该系统进行可靠性冗余分配设计，即是在满足系统的约束条件下，通过建立模型给出一种方法来确定k 1、k 2、k 3、k 4这四个阶段元件的冗余分配数量x j 以及各阶段元件的可靠度r j ，使得系统可靠度尽可能的大，总成本、总体积、总重量尽可能的小。

工程中，该系统的总体积可表示为V=∑v j n j=1x j 2，v j 为第j 级每个元件的重
量和体积的乘积；总重量W=∑w j n j=1x j exp⁡
(x j /4)，w j 为第j 级每个元件的重量；总成本C=∑αj /λj βj
n j=1[x j +exp⁡
(x j /4)]，λj 为常数，表示第j 级元件的故障率，假
设第j 单元元件发生的故障时间服从指数分布，其平均寿命均值为1/λj 。

αj ,βj 也为常量，代表第j 级元件的物理特性，exp⁡(x j /4)为占相互连接硬件的比例；总可
靠度R s =∏[1−(1−r
j )x j ]n j=1。

假设1,该系统要求各阶段分配的冗余数量x j 为1-10之间的整数（包括1和10），元件的可靠度r j 为0.5到1−10−6之间的实数，系统的总体积的上限为250，系统的总重量上限为500，系统的总成本上限为400，系统的总可靠度下限为0.75。

相关设计参数值如下：
j 105×αj βj v j w j 1 1.0 1.5 1 6 2 2.3 1.5 2 6 3 0.3 1.5 3 8 4
2.3
1.5
2
7
1/λj 平均寿命为1000h
问题一：在假设1的条件下，建立系统可靠性冗余分配最优配置模型，确定出每个阶段的冗余分配数量x j 和每个阶段的元件可靠度r j 的最优设计方案（可称为可靠性前沿面）。

问题二：实际中，由于随机扰动的存在，如天气因素对系统工作的影响等。

系统的可靠性往往达不到问题一中计算出来的值，请在问题一的基础上考虑随机扰动项，给出一个评价可靠性冗余分配效率的方法，并给出实际中系统可达到的可靠性最优分配方案。

问题三：当系统的总体积上限为200，系统的总重量上限为400，系统的总成本上限为500，可靠度下限为0.7.你的结果会有什么变化？即对模型进行灵敏度分析，给出分析结果。