r
F
θ dr
O r dr
y
b
x
说明
(1) 功是标量，且有正负
(2) 合力的功等于各分力的功的代数和
A
b
a
L
F
dr
b
a
L
(
F1
F2
Fn )
dr
b
aL
F1
dr
b
a
L
F2
dr
b
aL
Fn
dr
A1 A2 An
(3) 一般来说，功的值与质点运动的路径有关
二 功率
平均功率： N
3
x(m)
M （0dx 5xdy）
OOM
Q （4 ydx 5xdy）
M MQ
y0
x3
3
3
0 0dx 0 0 0 15dy
3
0 15dy 45J
y(m)
3
Q
M
o
3
x(m)
（2）A OQOQ（ Fxdx Fydy）
x y
Q （4ydx 5xdy） OOQ
（3 4 ydy 5 ydy） 40.5J 0
dz
Z2（ mg）dz Z1 1
mg（z1 z2）
z M1
②
m①
M2
G
O
y
x
结论
(1)重力的功只与始、末位置有关，而与路径无关。
(2)质点上升时，重力作负功；下降时，作正功。
2. 万有引力的功
F=
G
Mm
r2
dA = F. ds
太阳
= F dscos(900+θ )
=
G
Mm
r2
sinθ
ds
M ra
解 放手后，物体运动到 x 1 处和弹簧分离。在整个过程中，
弹簧弹性力作功
1 2
kx12
摩擦力作功
mgx2
根据动能定理有
1 2
kx12
mgx2
0
0
x1 x2
kx12 100 0.022 0.20
2mgx2 2 0.1 9.8 0.1
例2 长为l 的均质链条，部分置于水平面上，另一部分自然下垂, 已知链条与水平面间静摩擦系数为0 , 滑动摩擦系数为
Fx
m dv x dt
80t
Fy
m dv y dt
0
A
Fxdx Fydy
2 80t(4t 2dt ) 0
1
2 320t 3dt 1200 J
1
2.2 动能 动能定理（kinetic energy theorem）
一.质点d动A能 定F 理dr m dv dr mv dv mvdv
并把所得方程相加有:
i
Ai
i
1 2
miv
2 i2
i
1 2
miv
2 i1
Ai Ai外 Ai内
f1 B
i
ii讨论来自A1) 内力和为零,内力功的和
不是一否定为 为零零？
f1 f 2
f 0
m1
m2 m3
v2 v4
v3
v1 m4
f2
B
A
S L
A1 f 1L
A2 f 2S
A f 1(L S)
求 (1)满足什么条件时，链条将开始滑动
(2) 若下垂部分长度为b 时，链条自
O
静止开始滑动，当链条末端刚刚滑
离桌面时，其速度等于多少？
解 (1) 以链条的水平部分为研究对象，
y
设链条每单位长度的质量为，沿
铅垂向下取Oy 轴。
设链条下落长度 y =b0 时，处于临界状态
b0g 0(l b0 )g 0
第2章 质点力学的守恒定律
牛顿定律是瞬时的规律，有时需关心过程 中力的效果 1）从力对空间的积累作用出发，引入功、 动能的概念----能量守恒定律
2）从力对时间的积累作用出发，引入动量、 冲量的概念----动量守恒定律
3）介绍角动量、动量矩---引入角动量守恒定律
三大守恒定律是普适的，守恒定律更重要
b0
0 1 0
l
当 y >b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。
(2) 以整个链条为研究对象，链条在运动过程中各部分间
相互作用的内力的功之和为零，
重力的功 A l ygdy 1 g(l2 b2)
b
2
摩擦力的功 A' l g(l y)dy 1 g(l b)2
b
2
2) 内力的功也能改变系统的动能。如炸弹爆炸过程内力和
为零，但内力做功转化为弹片的动能。
例1 一轻弹簧的劲度系数为k =100N/m，用手推一质量 m =0.1 kg 的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m处, 如图所 示。放手后，物体沿水平面移动到x2=0.1m而停止。
求 物体与水平面间的滑动摩擦系数。
N F dr
A
t
F
v
瞬时功率：
Fv cosθ
N
lim
t 0
A t
dA dt
dt
例1 一质点受变力 F 4 yi 5xj 作用，求
（1）质点沿OMQ运动时变力所作的功。 y(m)
（2）质点沿OQ运动时变力所作的功。
3
Q
Fx 4 y, Fy 5x
M
（1）A OQOMQ（ Fxdx Fydy） o
dA
v2
v1
mvdv
dt
A
1 2
mv
2 2
1 2
mv12
Ek 2
Ek1
作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功，等于质
点在同一路程的始、末两个状态动能的增量。
说明
(1) Ek 是一个状态量, A 是过程量。 (2) 动能定理只用于惯性系。
二. 质点系动能定理
把质点动能定理应用于质点系内所有质点
2.1 机械功 功率
一 功（work）
1 恒力的功 A Fl cosθ
A Fl
2
F变 在力d的r 功一段上的功： dA F dr cos dA
F
dr
F 在ab一段上的功： A
b F dr
aL
在直角坐标系中：
A abL（ Fxdx Fydy Fzdz）
F
θ
M
M
a
l
b
z
aM
例2
质量为10kg 点的速度为
v的 质点4t，2i在外1力6 作j 用,开下始做时平质面点曲位线于运坐动标，原该点质。
求 在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。
解
vx
dx dt
4t 2
vy
dy dt
16
dx 4t2dt
y 16t
y 16时 t 1 y 32时 t 2
rb
b dr
θ ds
r
F
m
地球
a
=
G
Mm
r2
dr
A=
GMm
rb
ra
dr
r2
=
(
GMm
rb
)
(
GMm
ra
)
万有引力在全部路程中的功为：
A
r2 r1( L)
G
mM r2
d
r
GmM ( 1 1) r2 r1
结论
1) 万有引力的功，只与始、末位置有关，与路 径无关。
2) 质点移近质点时，万有引力作正功；远离时， 作负功。
O 据动能定理：
1 g(l2 b2) 1 g(l b)2 1 lv 2 0
2
2
2
y
v g (l2 b2 ) g (l b)2
l
l
2.3 势能 机械能守恒定律
一 保守力 （conservative force）
1 重力的功
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功：
A
M2
M1 1
Fz