uuuCBa
0 0 0
Rs 0
0
0
Rs 0
0 0 Rr
0 0 0
000 iiiCBa pCBa
ub 0 0 0 0 Rr 0ib b
uc 0 0 0 0 0 Rric c
或写成 uRi pΨ
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11
（2） 磁链方程
A LAA CBa LLLCBaAAA b LbA c LcA
sin cos
cos sin C2s/2r sin cos
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38
三、利用坐标变换简化数学模型
如果把三相静止坐标系上的异步电动机 数学模型变换到两相坐标系上，电感矩阵从 6×6变成4×4，而且由于两相坐标轴互相垂 直，两相绕组之间没有磁的耦合，数学模型 将会简单得多。
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9
（1）电压方程（续）
三相转子绕组折算到定子侧的电压方程
ua
iaRr
da
dt
ub
ibRr
db
dt
uc
icRr
dc
dt
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10
将电压方程组写成矩阵形式，并以微分
算子 p 代替微分符号 d /dt ：
uA Rs 0 0 0 0 0iA A
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35
三相—两相坐标系的变换矩阵
ii
21
30
1 2 3
2
1223iiiCBA
C3/ 2
2 1
3 0
1 2 3
2
1 2 3 2
电流、电压、磁链的变换阵都是相同的。
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36
2. 两相—两相旋转变换（2s/2r变换）
任意对称的多相绕组，通以平衡的多相电流， 都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。
ω1 i
i
F
b）两相交流绕组
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25
当两个旋转磁动势 F 的大小和转速
都相等时，即可认为两相绕组与三相 绕组等效。
以产生同样的旋转磁场为准则，用 一套虚拟的两相绕组来代替实际的三 相绕组，这就是坐标变换。变换后的 两相磁链关系要比原来的三相磁链关 系简单得多。
电力拖动自动控制系统陈伯时6 异步电动机动态数学模型
第六章第二部分
➢ 三相异步电动机的动态数学模型 ➢ 坐标变换和变换矩阵 ➢ 利用坐标变换简化数学模型 ➢ 按转子磁链定向的矢量控制系统 ➢ 按定子磁链控制的直接转矩控制系
统
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2
6.6 异步电动机动态数学模型
一、异步电动机的数学模型性质 输入变量——电压（电流）、频率， 输出变量——转速、磁通。
电压（电流）、频率、磁通、转速之 间又互相影响，所以是强耦合的多变量 系统。
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3
非线性模型
-电流乘磁通产生转矩， -转速乘磁通得到感应电动势; 它们都同时变化，在数学模型中含有两个变量的乘积 项，再加上其他因素，所以数学模型是非线性的。
模型的高阶性
定子有三个绕组，转子也可等效为三个绕组， 每个绕组产生磁通时都有自己的电磁惯性，再 考虑运动系统的机电惯性，和转速与转角的积 分关系，即使不考虑变频装置的滞后因素，也 是一个八阶系统。
1 2
Lm s
1 2
Lm
s
Lm
s
Ll
r
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15
c os co s 1( 2 ) c 0o s 1( 2 )0 L rs L sT r L m c c s o o s s 1 1( ( 2 2 ) ) c 0 0o c s o 1( s 2 ) c 0o c s 1 o( s 2 ) 0
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7
动态数学模型的组成
（1）电压方程
＃矩阵方程和微分方程 ＃状态方程 ＃空间矢量
（2）磁链方程
（3）转矩方程
（4）运动方程
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8
（1） 电压方程
三相定子绕组的电压平衡方程组
uA
iARs
dA
dt
uB
iBRs
dB
dt
uC
iCRs
dC
dt
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19
（4）电力拖动系统运动方程
Te
TL
J np
d
dt
（5）转速与转角的关系
d
dt
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20
异步电动机的多变量非线性动态结构图
u
(R+Lp)-1 i
L
er
1( )
1
2( )
TL
Te
np
Jp
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26
直流电机的物理模型
q
电枢绕组
A
交轴或 q 轴（quadrature axis）
励磁绕组
ia
F
d 直轴或 d 轴
if
(direct axis)
ic C
补偿绕组 图6-46 二极直流电机的物理模型
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27
伪静止绕组
励磁绕组F 和补偿绕组C 都在定子上，而 电枢绕组A在转子上。虽然电枢本身是旋转的， 但其磁动势的轴线始终被电刷限定在与励磁 磁动势垂直的位置上，效果和一个静止的绕 组一样。但其导线实际上是旋转的，会切割 励磁磁通而产生旋转电动势，又和真正静止 的绕组不同，通常把这种等效的静止绕组称 作伪静止绕组（pseudo-stationary coils）。
此矩阵中的元素都是变参数。
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16
将磁链方程代入电压方程
uRip(L)iRiLdi dLi
RiLdditddL i dt dt
式中，Ldi/项dt属于感应电动势中的脉变电 动势（或称变压器电动势）， (dL/d项)i 属于与转速成正比的旋转电动势。
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动势是旋转磁动势F，它在空间呈正弦分
布，以同步转速1（即电流的角频率）顺
着 A-B-C 的相序旋转，这就是旋转磁场。
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23
（1）交流电机绕组的等效物理模型
B
F
iB
ω1
B
A
iA A
iC
C
C
a）三相交流绕组
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24
（2）等效的两相交流电机绕组
N 2 i N 3 iB s6 i n 0 N 3 iC s6 i n 0 2 3 N 3 (iB iC )
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34
写成矩阵形式，得
ii
N3 N2
1 0
1 2 3
2
1223iiiCBA
考虑变换前后总功率不变，匝数比应为
N3 2 N2 3
（证明见附录2）
6
假设条件
（1）忽略空间谐波，三相绕组在空间互差120°，所 产生的磁动势沿气隙周围按正弦规律分布；
（2）忽略磁路饱和，认为各绕组的自感和互感都是 恒定的；
（3）忽略铁心损耗； （4）不考虑频率变化和温度变化对绕组电阻的影响。
(注意，对于电流对时间的波形未作任何假定，所讨 论的动态模型适用于含基波和各次谐波的情况。)
LAB LBB LCB LaB LbB LcB
LAC LBC LCC LaC LbC LcC
LAa LBa LCa Laa Lba Lca
LAb LBb LCb Lab Lbb Lcb
LAciA LLLCBaccciiiCBa Lbcib LcCic
或写成
ΨLi
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4
总起来说，异步电动机的动 态数学模型是一个高阶、非线 性、强耦合的多变量系统。
必须设法予以简化，才能进 行分析和设计。
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5
三相异步电动机的物理模型
B uB
b
ub
uc
uC
1
a
ua
uA A
C
c
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31
产生相同的旋转磁场
三相对称绕组A、B、C
两相对称绕组 、
旋转的直流绕组M、T
如何求出iA、iB 、iC 与i、i 和im、it 之间 准确的等效关系，这就是坐标变换的任务。
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32
1.三相--两相变换（3/2变换）
B
N3iB
T
电流都是空间矢量，
1
而不是时间相量。
iβ
Fs
it
itcos M im
imsin
i it sin
imcos
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37
两相旋转－两相静止坐标系的变换
iimco sitsin
iimsinit cos
写成矩阵形式：
iicsions
sinim
cosit
C2r/2s csions
17
（3） 转矩方程
根据机电能量转换原理，电磁转
矩等于机械角位移变化时磁共能的 变化率 W （m' 电流约束为常值），且
机械角位 m移 m = / np ，于是