证；
(2)组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，乘积形式分母为 m！，分子左边第一个因数为n,后面每个因数都比它前面那个因 数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数，多用于数字计算.阶 乘形式多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证.
【例1】(1)组合数 Crn (n＞r≥1,n、r∈N*)恒等于(
法，故共有5×A6 =3 600种. 6
方法二：排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从非甲的6个人中
2 选2个排列，有A6 种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排 2 列，有A5 种方法，共有 A6 =3 600种. A5 5 5
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排
4 列，有A 4 种方法，再将 4 名女生进行全排列，也有 种方法，故 A 4 4 4 =576种. 共有 A4 4 A4
)
(A) r 1 Crn11
n 1
1 (C)nrCrn 1 x x 2 则x=______. (2)若 A9 6A9 , 1 2n 3 =______. (3) Cn C 2n 3 n 1
(B) n 1 r 1 C rn11
(D) C rn11
顺序
个数
(2)排列数公式：
n! n(n-1)(n-2)„(n-m+1) (n m)! Am n =______________________=_______.
(3)排列数的性质： 1 n! ②0!=__. ① An =___; n
【即时应用】 (1)思考：排列与排列数有什么区别？ 提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排 法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数 . (2)设x,m∈N*，且m＜19＜x,则(x-m)(x-m-1)„(x-19)用排列 符号可表示为______.
(2)今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将
这9个球排成一列有______种不同的方法.(用数字作答)
(3)某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程
甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工 程丁必须在工程丙完成后才能进行.那么安排这6项工程的不同 排法种数是______.(用数字作答)
答案：8
1 2n 3有意义， (3)若 Cn C 2n 3 n 1
0 n 1 2n 3 则 0 2n 3 n 1 , 解得2≤n≤4. n N* 当n=2时，有 C1 C1 4； 1 3
2 当n=3时，有 C3 C3 4 7； 5 当n=4时，有 C3 5 C5 11.
(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少” 与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或 间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思 维，用间接法处理.
【例3】要从12人中选出5人去参加一项活动. (1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法？
(2)A，B，C三人都不能入选有多少种不同选法？
＝36种选法.
(2)由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有
4 ＝126种选法. C5 ＝ C 9 9
(3)可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有 C1 种选法，再从 3
4 4 余下的9人中选4人，有C9 种选法，所以共有 C1 ＝378种选法. C 3 9
5 种，再减去A，B，C三 (4)可考虑间接法，从12人中选5人共有C12 5 人都不入选的情况C5 种，共有 C12 ＝666种选法. －C5 9 9 5 种，再减去A，B，C三 (5)可考虑间接法，从12人中选5人共有C12 2 5 2 ＝756种选法. 人都入选的情况有C9 种，所以共有 C12 －C9
3.排列问题与组合问题的区别 区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选的元素 与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响， 排列 问题，否则是______ 组合 问题. 则是______
【即时应用】 (1)由1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数 中，三位数字之和为奇数的共有______个.(用数字作答)
(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，
有A4 种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空 4
4 3 =1 440种. 位排男生，有A3 种方法，故共有 A A 5 4 5
(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人 有A 2 种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有A3 种方法， 2 5 最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人全排列，有
(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的
元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；
(5)分排问题直排处理的方法； (6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法； (7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列 后再除以定序元素的全排列.
【例2】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排 列方法总数.
(3)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法？
(4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法？
(5)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法？
【解题指南】(1)(2)是“在”与“不在”的问题，采用“直接 法”； (3)可分两步；(4)(5)是“至少”、“至多”型问题，
采用“间接法” .
2 【规范解答】(1)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有C9
答案：(1)24
(2)1 260
(3)20
排列数、组合数公式的应用 【方法点睛】
排列数、组合数公式的特点及适用范围
(1)排列数公式右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前面
那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数.公式
Am n n! 主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论 n m !
况，故不同的选派方案种数为
3 2 2 =2×4+1×6=14. C1 ・ C C ・ C 2 4 2 4 4 种选法，4名都是男生的选法 方法二：从4男2女中选4人共有C6 4 有C4 种，故至少有1名女生的选派方案种数为 C6 =15-1=14. C4 4 4
答案：(1)7或9
(2)98
(3)14
m m n m m m1 C ① C0 =__; ② =_____; ③ =_____. C C 1 C C n 1 n n n n n
【即时应用】 (1)若 C2x7 Cx , 则x=______.
20 20
(2)某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门课程由于
上课时间相同，所以至多只能选一门.学校规定，每位同学选 修三门，则每位同学不同的选修方案种数是______. (3)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务， 如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为______.
【解析】由排列数公式的特征，下标是“连乘数”最大数x-m，
上标是“连乘数”的个数，即(x-m)-(x-19)+1=20-m.
m 答案： A20 x m
(3)从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作， 若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有______种. 【解析】从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须相邻； (5)全体排成一排，男生互不相邻； (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.
【解题指南】(1)无限制条件的排列问题直接应用公式； (2)先 排前排再排后排；(3)“在”与“不在”的问题，采用“优先 法”；(4)(5)(6)“邻”与“不邻”的问题，采用“捆绑法”或 “插空法”.
【规范解答】(1)从7个人中选5个人来排列，有
=7×6×5×4×3=2 520种. A5 7
(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A3 种方法，余下4人排在 7
3 4 =5 040种.事实上，本小题即 后排，有A 4 种方法，故共有 A A 4 7 4
为7人排成一排的全排列，无任何限制条件.
(3)(优先法) 方法一：甲为特殊元素.先排甲，有5种方法；其余6人有A6 种方 6
【解析】(1)由2x-7=x或2x-7+x=20，得x=7或x=9.
(2)分两类：第一类A、B、C三门课程都不选，有 C3 =35种方 7 案；第二类A、B、C三门课程中选一门，剩余7门课程中选两
2 =63种方案.故共有35+63=98种方案. 门，有 C1 3C7
(3)方法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情
3 =186(种). 方案共有 A3 7 A4
答案：186
(4)一条铁路原有m个车站，为了适应客运需求新增加了2个车
站，则客运车票增加了58种，那么原有车站______个.
2 【解析】根据题意得： =58,即(m+2)(m+1)-m(m-1)=58, A2 m 2 A m
即m=14.
答案：14
n r
【解题指南】(1)(2)利用排列数和组合数的公式及意义求解，
(3)中注意n的取值范围.
【规范解答】(1)选D.Crn
n! r! n r ! n 1! n n 1 Crn 1 . r r 1［ ! n 1 r 1］ ! r
答案：4或7或11
【反思・感悟】1.在排列数、组合数计算过程中要注意阶乘的 运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都 是在某个正整数范围内求解.
x y 2.应注意Cn Cn x y或x+y=n两种情况.