专题复习(五) 函数的实际应用题类型1 一次函数的图象信息题1．求函数解析式的方法有两种：一种是直接利用两个变量之间的等量关系建立函数模型；另一种是采用待定系数法，用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．当解析式中的待定系数只有一个时，代入已知条件后会得到一个一元一次方程；当解析式中的待定系数为两个或两个以上时，代入独立条件后会得到方程组．正因如此，能正确地解方程(组)成为运用待定系数法求解析式的前提和基础．2．用函数探究实际中的最值问题，一种是对于一次函数解析式，分析自变量的取值范围，得出最值问题的答案；另一种是对于二次函数解析式，首先整理成顶点式，然后结合自变量取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐标，画出函数在自变量取值范围内的图象，图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值．3．在组合函数中，若有一个函数是分段函数，则组合后的函数也必须分段．1．(2018·吉林)小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30 min .小东骑自行车以300 m /min 的速度直接回家，两人离家的路程y(m )与各自离开出发地的时间x(min )之间的函数图象如图所示：(1)家与图书馆之间的路程为4__000 m ，小玲步行的速度为100m /min ； (2)求小东离家的路程y 关于x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)求两人相遇的时间．解：(1)结合题意和图象可知，线段CD 为小东路程与时间的函数图象，折线O —A —B 为小玲路程与时间的函数图象，则家与图书馆之间路程为 4 000m ，小玲步行速度为(4 000－2 000)÷(30－10)＝100 m /min .故答案为：4 000，100.(2)∵小东从离家4 000 m 处以300 m /min 的速度返回家， 则x min 时，他离家的路程y ＝4 000－300x ，自变量x 的范围为0≤x≤403.(3)当x ＝10时，y 玲＝2 000，y 东＝1 000，即两人相遇是在小玲改变速度之前， ∴令4 000－300x ＝200x ，解得x ＝8. ∴两人相遇时间为第8分钟．2．(2018·成都)为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．(1)直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1 200 m2，若甲种花卉的种植面积不少于200 m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？解：(1)y＝{130x（0≤x≤300），80x＋15 000（x＞300）.(2)设甲种花卉种植为a m2，则乙种花卉种植(1 200－a)m2.∴a≤2(1 200－a)，解得a≤800.又a≥200，∴200≤a≤800.当200≤a＜300时，W1＝130a＋100(1 200－a)＝30a＋120 000.当a＝200 时．W min＝126 000 元；当300≤a≤800时，W2＝80a＋15 000＋100(1 200－a)＝135 000－20a.当a＝800时，W min＝119 000 元．∵119 000＜126 000，∴当a＝800时，总费用最少，最少总费用为119 000元．此时乙种花卉种植面积为1 200－800＝400(m2)．答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800 m2和400 m2，才能使种植总费用最少，最少总费用为119 000元．类型2 一次函数与方程或不等式的综合运用1．(2018·武汉)用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板．现准备购买A，B型钢板共100块，并全部加工成C，D 型钢板．要求C型钢板不少于120块，D型钢板不少于250块，设购买A型钢板x块(x为整数)．(1)求A，B型钢板的购买方案共有多少种？(2)出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元．若将C，D型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案．解：(1)设购买A型钢板x块，则购买B型钢板(100－x)块，根据题意，得{2x＋（100－x）≥120，x＋3（100－x）≥250，解得20≤x≤25.∵x为整数，∴x＝20，21，22，23，24，25共6种方案，即A，B型钢板的购买方案共有6种．(2)设总利润为w，根据题意，得w＝100(2x＋100－x)＋120(x＋300－3x)＝100x＋10 000－240x＋36 000＝－140x＋46 000，∵－140＜0，∴w随x的增大而减小．∴当x＝20时，w max＝－140×20＋46 000＝43 200.即购买A型钢板20块，B型钢板80块时，获得的利润最大．2．(2018·潍坊)为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．(1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？(2)若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1 080立方米的挖土量，且总费用不超过12 960元，问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？解：(1)设每台A型，B型挖掘机一小时分别挖土x立方米和y立方米，根据题意，得{3x＋5y＝165，4x＋7y＝225，解得{x＝30，y＝15.答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米．(2)设A型挖掘机有m台，总费用为W元，则B型挖掘机有(12－m)台．根据题意，得W＝4×300m＋4×180(12－m)＝480m＋8 640.∵{4×30m＋4×15（12－m）≥1 080，4×300m＋4×180（12－m）≤12 960，∴{m≥6，m≤9.∵m≠12－m，解得m≠6，∴7≤m≤9.∴共有三种调配方案，即方案一：当m＝7时，12－m＝5，即A型挖掘机7台，B型挖掘机5台；方案二：当m＝8时，12－m＝4，即A型挖掘机8台，B型挖掘机4台；方案三：当m＝9时，12－m＝3，即A型挖掘机9台，B型挖掘机3台．∵480＞0，由一次函数的性质可知，W随m的减小而减小，∴当m＝7时，W小＝480×7＋8 640＝12 000(元)．当A型挖掘机7台，B型挖掘机5台时的施工费用最低，最低费用为12 000元．3．(2018·恩施)某学校为改善办学条件，计划采购A，B两种型号的空调，已知采购3台A 型空调和2台B型空调，需费用39 000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6 000元．(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元；(2)若学校计划采购A，B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217 000元，该校共有哪几种采购方案？(3)在(2)的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 解：(1)设A 型空调和B 型空调每台各需x 元，y 元，根据题意，得 {3x ＋2y ＝39 000，4x －5y ＝6 000，解得{x ＝9 000，y ＝6 000. 答：A 型空调和B 型空调每台各需9 000元，6 000元．(2)设购买A 型空调a 台，则购买B 型空调(30－a)台，根据题意，得⎩⎨⎧a ≥12（30－a ），9 000a ＋6 000（30－a ）≤217 000，解得10≤a≤1213.∴a＝10，11，12，共有三种采购方案，即方案一：采购A 型空调10台，B 型空调20台； 方案二：采购A 型空调11台，B 型空调19台： 方案三：采购A 型空调12台，B 型空调18台． (3)设总费用为w 元，则w ＝9 000a ＋6 000(30－a)＝3 000a ＋180 000， ∴当a ＝10时，w 取得最小值，此时w ＝210 000，即采购A 型空调10台，B 型空调20台可使总费用最低，最低费用是210 000元．类型3 二次函数的实际应用1．(2018·衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．解：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝a(x －3)2＋5(a≠0)，将(8，0)代入y ＝a(x －3)2＋5，得 25a ＋5＝0，解得a ＝－15.∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝－15(x －3)2＋5(0＜x ＜8)．(2)当y ＝1.8时，有－15(x －3)2＋5＝1.8，解得x 1＝－1，x 2＝7.答：为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内． (3)当x ＝0时，y ＝－15(0－3)2＋5＝165.设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝－15x 2＋bx ＋165，∵该函数图象过点(16，0)， ∴0＝－15×162＋16b ＋165，解得b ＝3.∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝－15x 2＋3x ＋165＝－15(x －152)2＋28920. ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米．2．(2018·温州)温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x 人生产乙产品．(1)根据信息填表：(2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润；(3)该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙(每人每天只能生产一种产品)，丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W(元)的最大值及相应的x 值．解：(2)由题意，得15×2(65－x)＝x(130－2x)＋550，整理得x 2－80x ＋700＝0，解得x 1＝10，x 2＝70(不合题意，舍去)． ∴130－2x ＝110.答：每件乙产品可获得的利润是110元． (3)设生产甲产品m 人，则W ＝x(130－2x)＋15×2m＋30(65－x －m)＝－2(x －25)2＋3 200.∵每天甲、丙两种产品的产量相等，∴2m＝65－x －m.∴m＝65－x3.又∵－2＜0，x ，m 都是非负整数， ∴取x ＝26时，m ＝13，65－x －m ＝26. 此时，W 最大＝3 198.答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大利润为3 198元．类型4 一次函数与二次函数的综合运用1．(2018·河南)某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系．关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：[(注：日销售利润＝日销售量×(销售单价－成本单价)](1)求y 关于x 的函数解析式(不要求写出x 的取值范围)及m 的值； (2)根据以上信息，填空：该产品的成本单价是80元，当销售单价x ＝100元时，日销售利润w 最大，最大值是2__000元；(3)公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3 750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？解：(1)设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧85k ＋b ＝175，95k ＋b ＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝600. 即y 关于x 的函数解析式是y ＝－5x ＋600. 当x ＝115时，y ＝－5×115＋600＝25， 即m 的值是25.(2)设成本为a 元/个，当x ＝85时，875＝175×(85－a)，得a ＝80. w ＝(－5x ＋600)(x －80)＝－5x 2＋1 000x －48 000＝－5(x －100)2＋2 000，∴当x ＝100时，w 取得最大值，此时w ＝2 000. 故答案为：80，100，2 000.(3)设科技创新后成本为b 元/个，当x ＝90时，(－5×90＋600)(90－b)≥3 750， 解得b≤65.答：该产品的成本单价应不超过65元．2．(2018·黔南)某种蔬菜的销售单价y 1与销售月份x 之间的关系如图1所示，成本y 2与销售月份x 之间的关系如图2所示．(图1的图象是线段，图2的图象是抛物线)图1 图2 (1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？(收益＝售价－成本)(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由；(3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？解：(1)当x ＝6时，y 1＝3，y 2＝1. ∵y 1－y 2＝3－1＝2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．(2)设y 1＝mx ＋n ，y 2＝a(x －6)2＋1. 将(3，5)，(6，3)代入y 1＝mx ＋n ，得⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝5，6m ＋n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－23，n ＝7.∴y 1＝－23x ＋7.将(3，4)代入y 2＝a(x －6)2＋1， 4＝a(3－6)2＋1，解得a ＝13.∴y 2＝13(x －6)2＋1＝13x 2－4x ＋13.∴y 1－y 2＝－23x ＋7－(13x 2－4x ＋13)＝－13x 2＋103x －6＝－13(x －5)2＋73.∵－13＜0，∴当x ＝5时，y 1－y 2取最大值，最大值为73，即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大． (3)当x ＝4时，y 1－y 2＝2.设4月份的销售量为t 万千克，则5月份的销售量为(t ＋2)万千克，根据题意，得 2t ＋73(t ＋2)＝22，解得t ＝4.∴t＋2＝6.答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．3．(2018·荆门)随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10 000 kg 小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166 000，放养30天的总成本为178 000元．设这批小龙虾放养t 天后的质量为 a kg ，销售单价为y 元/kg ，根据往年的行情预测，a 与t 的函数关系为a ＝⎩⎪⎨⎪⎧10 000（0≤t≤20），100t ＋8 000（20＜t≤50），y 与t 的函数关系如图所示． (1)设每天的养殖成本为m 元，收购成本为n 元，求m 与n 的值；(2)求y 与t 的函数关系式；(3)如果将这批小龙虾放养t 天后一次性出售所得利润为W 元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？(总成本＝放养总费用＋收购成本；利润＝销售总额－总成本)解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10m ＋n ＝166 000，30m ＋n ＝178 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝600，n ＝160 000. (2)当0≤t≤20时，设y ＝k 1t ＋b 1，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝16，20k 1＋b 1＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝35，b 1＝16.∴y＝35t ＋16；当20＜t≤50时，设y ＝k 2t ＋b 2，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧20k 2＋b 2＝28，50k 2＋b 2＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－15b 2＝32.∴y＝－15t ＋32.综上，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧35t ＋16（0≤t≤20），－15t ＋32（20＜t≤50）.(3)W ＝ya －mt －n ，当0≤t≤20时，W ＝10 000(35t ＋16)－600t －160 000＝5 400t.∵5 400＞0，∴当t ＝20时，W 最大＝5 400×20＝108 000.当20＜t≤50时，W ＝(－15t ＋32)(100t ＋8 000)－600t －160 000＝－20t 2＋1 000t ＋96 000＝－20(t －25)2＋108 500.∵－20＜0，抛物线开口向下， ∴当t ＝25时，W 最大＝108 500. ∵108 500＞108 000，∴当t ＝25时，W 取得最大值，该最大值为108 500元．4．(2018·扬州)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3 600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝700. 故y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋700. (2)由题意，得－10x ＋700≥240，解得x≤46，设利润为w ＝(x －30)·y＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1 000x －21 000＝－10(x －50)2＋4 000.∵－10＜0，∴x＜50时，w 随x 的增大而增大．∴当x ＝46时，w 最大＝－10(46－50)2＋4 000＝3 840.答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3 840元．(3)w －150＝－10x 2＋1 000x －21 000－150＝3 600， 解得x 1＝55，x 2＝45.如图所示，由图象得：当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3 600元．5．(2018·天门)绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF 、折线ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价y 1(元)、生产成本y 2(元)与产量x(kg )之间的函数关系．(1)求该产品销售价y 1(元)与产量x(kg )之间的函数关系式；(2)直接写出生产成本y 2(元)与产量x(kg )之间的函数关系式；(3)当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？解：(1)设y 1与x 之间的函数关系式为y 1＝kx ＋b ，∵经过点(0，168)与(180，60)，根据题意，得∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝168，180k ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35，b ＝168.∴产品销售价y 1(元)与产量x(kg )之间的函数关系式为y 1＝－35x ＋168(0≤x≤180)． (2)由题意，可得当0≤x≤50时，y 2＝70；当130≤x≤180时，y 2＝54；当50＜x ＜130时，设y 2与x 之间的函数关系式为y 2＝mx ＋n.∵直线y 2＝mx ＋n 经过点(50，70)与(130，54)，∴⎩⎪⎨⎪⎧50m ＋n ＝70，130m ＋n ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－15，n ＝80.∴当50＜x ＜130时，y 2＝－15x ＋80. 综上所述，生产成本y 2(元)与产量x(kg )之间的函数关系式为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧70（0≤x≤50），－15x ＋80（50＜x ＜130），54（130≤x≤180）.(3)设产量为x kg 时，获得的利润为W 元，①当0≤x≤50时，W ＝x(－35x ＋168－70) ＝－35(x －2453)2＋12 0053， ∴当x ＝50时，W 的值最大，最大值为3 400；②当50＜x ＜130时，W ＝x[(－35x ＋168)－(－15x ＋80)]＝－25(x －110)2＋4 840， ∴当x ＝110时，W 的值最大，最大值为4 840；③当130≤x≤180时，W ＝x(－35x ＋168－54)＝－35(x －95)2＋5 415， ∴当x ＝130时，W 的值最大，最大值为4 680.因此当该产品产量为110 kg 时，获得的利润最大，最大值为4 840元．。