算法分析与设计上机实验报告课程名称：算法分析与设计班级：实验日期:姓名：学号：指导教师：许晓华实验名称：最优二叉搜索树实验地点：主楼1114实验成绩：一、实验目的及要求1．进一步掌握最优二叉树的含义。
2．掌握最优二叉树的结构特征。
3．认真阅读和掌握动态规划法秋最有搜索二叉树实验的程序。
4．上机运行本程序。
5．保存和打印出程序的运行结果，并结合程序进行分析。
6．按照你二叉树的操作需要，可重新改写主程序并运行，请上交文件清单和运行结果二、实验环境及设备微机一台：Intel 酷睿2双核操作系统：Microsoft Windows XP Professional工具软件：Microsoft Visual C++ 6.0三、实验内容及实验步骤动态规划——最优二叉查找树1，问题描述：给定一个有序序列K={k1<k2<k3<,……,<kn}和他们被查询的概率P={p1,p2,p3,……,pn}，要求构造一棵二叉查找树T，使得查询所有元素的总的代价最小。
对于一个搜索树，当搜索的元素在树内时，表示搜索成功。
当不在树内时，表示搜索失败，用一个“虚叶子节点”来标示搜索失败的情况，因此需要n+1个虚叶子节点{d0<d1<……<dn}。
其中d0表示搜索元素小于k1的失败结果，dn表示搜索元素大于kn的失败情况。
di（0<i<n）表示搜索节点在ki和k(i+1)之间时的失败情况。
对于应di的概率序列是Q={q0,q1,……,qn}。
2，问题分析：在二叉树中T内搜索一次的期望代价为：E[T]=(depth(ki)+1)*pi //对每个i=1~n，搜索成功情况+(depth(di)+1)*qi //对每个i=0~n，搜索失败情况3，问题求解：动态规划步骤一：寻找最优子结构。
一个最优二叉树的子树必定包含连续范围的关键字ki~kj，1<=i<=j<=n，同时也必须含有连续的虚叶子节点di-1~dj。
如果一棵最优二叉查找树T有一棵含有关键字ki~kj的子树T'，那么，T'也是一棵最优查找树，这通过剪贴思想可以证明。
现在开始构造最优子结构：在ki~kj中，选定一个r,i<=r<=j，使以kr为根，ki~k(r-1)和k(r+1)~kj为左右孩子的最优二叉树。
注意r=i或者r=j的情况，表示左子树或右子树只有虚叶子节点。
步骤二：一个递归解。
定义e[i,j]为一棵包含关键字ki~kj的最优二叉树的期望代价。
当j=i-1时没有真实的关键在，只有虚叶子节点d(i-1)。
于是：当j=i-1时，e[i,i-1]=q(i-1)。
当j>=i时，需要选择合适的kr作为根节点，然后其余节点ki~K(r-1)和k(r+1)~kj构造左右孩子。
这时要考虑左右孩子这些节点成为一个节点的子树后，它的搜索代价的变化：根据E[T]的计算，得知它们的期望代价增加了“子树中所有概率的总和”w。
w[i,j]=pl // 对每个l=i~j+ql //对每个l=i-1~j于是当j>=i时，e[i,j]=pr + (e[i,r-1]+w[i,r-1])+(e[r+1,j]+w[r+1,j]) = e[i,r-1] + e[r+1,j]+w[i,j];步骤三：计算最优二叉树的期望代价e[i,j]=q(i-1) //如果j=i-1min(e[i,r-1] + e[r+1,j]+w[i,j]),如果i<=j，其中i<=r<=jw[i,j] =q(i-1) 如果j=i-1w[i,j]=w[i,j-1]+pj+qj 如果i<=j实现代码如下：view plaincopy to clipboardprint?1 #include <iostream>2 using namespace std;34 #define MAXNUM 1005 #define MAX 655366 //p中为有序关键字k1到k5的搜索概率，k1<k2<k3<k4<k57 double p[MAXNUM] = {0.00,0.15,0.10,0.05,0.10,0.20};8 double q[MAXNUM] = {0.05,0.10,0.05,0.05,0.05,0.10};9 void optimal_bst(double e[][MAXNUM],int root[][MAXNUM],double w[][MAXNUM],int n)10 {11 int i =0,j=0;12 //针对左或右孩子为空树情况初始化13 for(i = 1;i<=n+1;i++)14 {15 e[i][i-1] = q[i-1];16 w[i][i-1] = q[i-1];17 }18 int l = 0;19 //计算顺序如下：根据计算式：e[i,j] = e[i,r-1]+e[r+1,j首先计算节点个数为1的最优二叉树的代价e[1,1],e[2,2]……接着计算节点个数为1的最优二叉树的代价e[1,2],e[2,3]…………最后计算结点个数为n的最优二叉树的代价e[1,n]，利用之前保存的较少结点最优二叉树的结果。
20 for(l = 1;l<=n;l++)21 {22 for(i = 1;i<=n-l+1;i++)23 {24 j = i+l-1;25 e[i][j] = MAX;26 w[i][j] = w[i][j-1] + p[j]+q[j];27 for(int r = i;r<=j;r++)28 {29 do uble t = 0;30 t = e[i][r-1]+e[r+1][j] + w[i][j];31 if (t<e[i][j])32 {33e[i][j]= t;34root[i][j] = t;35 }36 }3738 }39 }4041 }42 int main()43 {44 double e[MAXNUM][MAXNUM];45 int root[MAXNUM][MAXNUM];46 double w[MAXNUM][MAXNUM];4748 optimal_bst(e,root,w,5);4950 for(int i =1;i<=6;i++)51 {52 for(int j = 0;j<=5;j++)53 {54 cout << e[i][j] << " ";55 }56 cout << endl;57 } 这是一个经典的动态规划问题（但厉害的是其中带有一个很神奇的定理），问题是这样的：已知二叉搜索树中每个节点的访问概率，问这棵树整体的搜索时间最短是多少（此时称为最优二叉搜索树）。
众所周知，在二叉搜树中，一次搜索的时间等于待访问节点的深度。
所以整体的搜索时间为：节点i的访问概率 * 节点i的深度所以如果要整体搜索时间最短，则访问概率高的节点应该比较靠近根节点。
乍一听，好像是哈夫曼编码。
但是不同的是，这是二叉搜索树，所有节点的左右顺序（这里指中序遍历的顺序）不能变化。
所以无法像哈夫曼编码那样一味地把概率高的节点往上移（那是一个贪心算法）。
那该怎么办呢？其实我们只要想到这样一个递推关系：一棵树如果是最优二叉搜索树，那么要么它是空树，要么它的左、右子树也是最优二叉搜索树。
这样就得到了动态规划的解法：For size = 1到nFor 所有包含size个元素的子树For 该子树的所有节点i找出其中一个i，使当它为根节点时，左、右子树的最短搜索时间之和最小。
那么该子树的访问时间就是：左、右子树的最短搜索时间之和 + 所有节点的访问概率之和（因为所有节点都下降了一层）。
可见，这个算法的时间复杂度是O（n^3）。
但是有一个神奇的定理，可以把算法的时间效复杂度降到O（n^2），如下：设一个子树的节点为i ～ j（当然，这里说的i ～ j都是从小到大排好序的），则当它是最优二叉搜索树时的根节点root(i, j)满足：root(i, j - 1) <= root(i, j) <= root(i + 1, j)。
这样一来，上面那个算法的第3个For就可以不用循环子树中的所有节点了，只要循环另两个子树的根节点之间的范围就可以了。
而这个范围根据实践表明是很小的。
所以整体的时间复杂度就相当于两层For循环而已。
===========================================//最优二叉搜索树的动态规划算法代码如下：#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <assert.h>#include <string.h>typedef struct matrix{int row;int col;} matrix;typedef struct minCost{int cost;int mid;} minCost;minCost** func(matrix* mt, ssize_t count){int i, j, step, min, temp, mid;minCost **rows;rows = (minCost **)malloc(count*(sizeof(minCost*)));for(i=0;i<count;i++)rows[i] = (minCost *)malloc((count-i)*sizeof(minCost));for(i=0;i<count;i++){rows[i][0].cost=0;rows[i][0].mid=-1;}for(step=1;step<count;step++)for(j=0;j<count-step;j++){min=mt[j].row*mt[j].col*mt[j+step].col+rows[j][0].cost+rows[j+1][step-1].cost;mid=j;for(i=1;i<step;i++){temp=rows[j][i].cost+rows[j+i+1][step-i-1].cost+mt[j].row*mt[j+i].col*mt[j+step].col;if(min>temp){min=temp;mid=j+i;}}rows[j][step].cost=min;rows[j][step].mid=mid;}printf("%d, %d\n", rows[0][count-1].cost, rows[0][count-1].mid); return rows;}void rel(minCost **mc, ssize_t count){int i;for(i=0;i<count;i++)free(mc[i]);free(mc);}int main(int argc, char *argv[]){minCost **temp;matrix ma[]={{30,35},{35,15},{15,5},{5,10},{10,20},{20,25}};temp=func(ma, sizeof(ma)/sizeof(ma[0]));rel(temp, sizeof(ma)/sizeof(ma[0]));return 0;}四、调试过程及实验结果上程序调试运行的结果为：15125 ， 2虽然使用动态规划法可以构造出最优二叉搜索树，但on3的时间复杂性仍然显得太高。