xc
根据题设，我们可知茜茜的效用函数为
u ( xc , xs ) = min( xc , xs )
u( xc , xs ) = min(xc ,
xs ；这相 当于 一 杯咖啡 的价 格 为 ) 2
xc 1 = xs 2
•
xs
分别对两需求函数求偏导得：
pc + 2 ps ，茜茜可以买到的几杯咖啡呢？
其咖啡 x 的杯数量为
2
我们再设新的效用函数为： u = ( x1 + x2 ) ；然后，我们建立两者关系：
⎛ v + 50 ⎞ 2 v = 10 ⋅ u − 50 ⇒ u = ⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠
2
1
对进 u = u (v) 行求导：
du 1 ⎛ v + 50 ⎞ = ⋅⎜ ⎟ dv 20 ⎝ 10 ⎠
−
1 2
则当 v > −50 时， u 为 v 的严格单增函数；即 u 为 v 的单调变换； （1） u′ = 2 （3） u′ = −2v (v > 0)
max u ( x)
x
1-5-4 2/19/2006 5:17:15 PM
第一讲 偏好、效用与消费者的基本问题
u ( x2 ) = x1 =
m − p2 x2 p1
由上式可知， x2 = 0 时， 当 消费者达到效用最大化； 马歇尔需求函数为： 1 = m p1 ； 2 = 0 x x 10
max = u ( x)
y 是完全替代 y 所带来的效用水
y是
完全互补的；越靠右上的曲线所代表的效用水平
平是一样的，她的无差异曲线拥有负的斜率； 对于一定量的汽水 x 而言， 越多的冰棍 y 越好， 所以越靠上的曲线所代表的效用水平就越高； 她效用函数可用 u ( x, y ) = 2 x + 3 y 表示。
（瓦里安 微观经济学 现代观点 上海人民出版社 p48-53） 进一步提问：为什么在（3）中，萧锋的效用函数不可以是 u ( x, y ) = min( x,2 y ) ？ 事实上，这个问题涉及到如何可以快速的得出固定比率的效用（生产）函数（而用道上 的 “黑话”则被称之为里昂惕夫效用（生产）函数） ； 让我们首先来看一个例子，而在例子结束时，也就是我们回答此问题结束之际； 假设生产 a 单位的产出要固定用用上 a1 单位的 x1 与 a2 单位的 x2 ，那么此技术的生产函 数是怎样的形式？ 这就如同我们是在拌水泥砂浆，其配合比则是题目所给出的；
m 2m ； x′ = 由于咖啡和糖为完全互补，所以任何 s ′ ′ pc + 2 p′ pc + 2 p′ s s
一价格的上升都会导致咖啡和糖的需求量下降。 8（1）完备性是指≤，≥，所以题设中的＜、～都不具有完备性； （2） “无差异关系”无差异于“无差异关系” ，因为“A～B”～ “B～A”;即无差异的定 义为：x ~ y 当且仅当 x ≥ y 且满足 y ≥ x ； 所以“ x ≥ y 且满足 y ≥ x ”~“ y ≥ x 且 满足 x ≥ y ”；即“ x ~ y ”～“ y ~ x ”；进而具体而言，如果把 y 当成 x ，则为 “ x ~ x ”～“ x ~ x ”；进而 x ~ x ； （3）根据以上的思路， A＞B”与“A＜B” 不满足无差异关系，所以不满足反省性；即 “ 严格偏好关系的定义为： x > y 当且仅当 x ≥ y 但不满足 y ≥ x ；…… 另：以上两题，直接由其定义便可直接得出；以上思路还是显得拖沓； （4）完备性是指消费者能区分任何两个不同的消费计划，但这并不代表任何两个不同的消 费计划都同时具有题中的三种关系，如果存在的话，则否定了完备性。 9
1
ρ
ρ
= ⎯α1 +α 2⎯→ α1 ln x1 + α 2 ln x2 ⎯ ⎯1
（题目虽然没有给出 α1 + α 2 = 1 的条件，但只有在此条件下结论才能成立） 所以：
α α lim u ( x) = x1 1 x2 2 ρ →0
ρ α1 x1ρ ln x1 + α 2 x2 ln x2 （3） lim ln u ( x) = lim ρ ρ → −∞ ρ → −∞ α1 x2 + α 2 x1ρ
4（1）由 u ( x1 , x2 ) = 减。 （2）只要当
, pi < p j , pi > p j , pi = p j
； (i, j = 1,2)
1 1 ∂u 1 ∂ 2u 1 ln x1 + ln x2 可知： 和 2 = − 2 < 0 可知边际效用递 = 2 2 2 xi ∂xi 2 xi ∂xi
1-5-1 2/19/2006 5:17:15 PM
第一讲 偏好、效用与消费者的基本问题
当我们想知道他们之间的等式关系时，我们只须经过简 单的数学变换：
y
a
： x1 ： a1
： x2 ： a2
y : xi = a : ai ； y =
axi ai
而当我们上式，则就可马上得出其关系函数：
⎧ ax ax ⎫ y = Min ⎨ 1 ; 2 ⎬ ⎩ a1 a2 ⎭
2 2
∂ψ = 20( x1 + x2 ) − λp1 = 0 ∂x1 ∂ψ = 20( x1 + x2 ) − λp2 = 0 ∂x2 ∂ψ = m − p1 x1 − p2 x2 = 0 ∂λ
由上式可知，17:15 PM
第一讲 偏好、效用与消费者的基本问题
由 （1）
（2）
（3）
(1) 得: (2)
x1 =
αp2 x2 ; (1 − α ) p1
x2 =
(1 − α ) p1 x1 α p2
把上两式分别代入（3）式得马歇尔需求函数：
x1 =
αm
p1
；
x2 =
(1 − α )m p2
11 单调变换：当 u1 > u2 意味着 f (u1 ) > f (u2 ) 时，则称 f (u ) 为原效用函数的单调变换；而 事实上，用数学的 “黑话”来说，一个消费者的效用函数是不唯一的：只要任意一个新 的效用函数是旧的效用函数的严格单增函数就满足单调变换的条件； 先用这一讲的第三题举个例子： 设 v = 10( x1 + x2 ) − 50 （这是旧的效用函数） ；
当 x1 > x2 时： lim ln u ( x ) = ln x2
ρ →−∞
；
当 x1 < x2 时： lim ln u ( x ) = ln x1
ρ →−∞
所以，当 ρ → −∞ 时，该效用函数趋近于 u ( x ) = min( x1 , x2 )
1-5-3 2/19/2006 5:17:15 PM
m ； pc + 2 ps
又知 x = x = 1 x 则 x = c s c
2
m ； x = 2m ; s pc + 2 ps pc + 2 ps
∂x m ∂xc 2m ； c =− ； =− 2 ∂pc ( pc + 2 ps ) ∂ps ( pc + 2 ps ) 2 ∂x m ∂xs 2m ； s =− =− 2 ∂pc ( pc + 2 ps ) ∂ps ( pc + 2 ps ) 2 ′ 当价格变化时， xc =
第一讲 偏好、效用与消费者的基本问题
7 说句实话，越简单和明显的结论越是难以证明。但以下四个结论在数学上是很明显的。 （1）本身包含于本身，即弱偏好与本身的范围一样大； （2）无差异的范围小于弱偏好的范围，即某集合的范围包含其子集； （3）强偏好和无差异的集合等同于弱偏好 ； （4）强偏好和无差异之间没有交集。 6 设每汤匙咖啡（coffee）的需求为 xc ,每汤匙糖（sugar）的需求为 xs ，每杯咖啡的需求为 x 。
y 越好，所以越靠右
y ，她的无差异曲线为水平线；对于 一定量的汽水 x 而言，越多的冰棍 y 越好，所
的曲线所代表的效用水平就越高。
以越靠上的曲线所代表的效用水平就越高。
（2）
（3）
y
y
y = 2x
dy 2 =− dx 3
x
对于李楠而言汽水 x 与冰棍 的；三杯汽水 x 与两根冰棍
x
对于萧峰而言一杯汽水 x 与两根冰棍 就越高； 他 的 效 用 函 数 可 用 u ( x, y ) = min( x, y 2) 表示。
∂ 2u 3 ≥ 0 时，就满足题目要求，如 x13 + x2 等。 ∂xi2
5（1）当 ρ = 1 时， u ( x ) = α1 x1 + α 2 x2 ，又知
∂x2 α = − 1 为常数，则效用函数为线性。 ∂x1 α2
ρ α1 x1ρ ln x1 + α 2 x2 ln x2 （2） lim ln u ( x) = lim ln(α1 x1 + α 2 x2 ) = lim ρ ρ →0 ρ →0 ρ ρ →0 α1 x1ρ + α 2 x2
p1 < p2
● ● ●
当边际效用替代率为常数时， 即效用函 数的斜率为负的常数时， 才可满足完全替代 的定义，由此，我们能断定，两商品为相互 替代的；图中表示了消费束的集合；
x1
p81）
（瓦尔特·尼科尔森 微观经济理论第六版 中国经济出版社
xi 的需求函数为：
⎧m ⎪p ⎪ i ⎪ xi = ⎨0 ⎪ ⎪0 ~ m ⎪ pi ⎩
u ( x1 , x2 ) = max( x1 , x2 ) 为 此 人 的 效
用函数；这就确定了他的最优的选择必定 是落在便宜的商品上，即他会用他的所有 积蓄来购买相对便宜的商品。
10 = x1 + 2 x2
•
x1
3