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一次函数与三角形面积

一次函数相关的面积问题思路:画出草图,把要求的图形构建出来,根据面积公式,把直线与坐标轴的交点计算出来,把坐标转化成线段,代入面积公式求解。

规则图形(公式法)不规则图形(切割法)不含参数问题含参数问题(用参数表示点坐标,转化成线段)注意:坐标的正负、线段的非负性。

求面积时,尽量使底或高中的一者确定下来(通过对图像的观察,确定底和高),然后根据面积公式,建立等式。

1、求直线y = -2x +4,y = 2x -4 及y 轴围成的三角形的面积。

2、已知正比例函数y = 2x与一次函数y = x +2相交于点P,则在x上是否存在一点A,使S△POA=4?若存在,求出点有坐标;若不存在,请说明理由。

3、如下图,一次函数的图像交正比例函数的图像于M 点,交x 轴于点N(-6,0),已知点M 在第二象限,其横坐标为-4,若S△NOM=15,求正比例函数的解 析式。

过点 A ,B ,直线l 1,l 2交于点C .(1)求点 D 的坐标;(2)求直线l 2的解析表达式;(3)求△ADC 的面积;(4)在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ,使得△ADP 与△ADC 的面积相等,请直.接.写出点P 的坐标. 图 11 5、如图,直线 L 的解析表达式为 y = -1 x +2,且与 x 轴、y 轴交于点 A 、B , 在 y 轴上有一点 C (0,4),动点 M 从 A 点以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向 左移动。

直线 l 经1)求A、B 两点的坐标;2)△COM 的面积 S 与 M 的移动时间 t 之间的函数关系式;3)当何值时△COM≌△AOB,并求出此时 M 点的坐标。

一次函数(动态问题)举一反三:如图(十二),直线l的解析式为y = -x + 4,它与x轴、y轴分别相交于A、B 两点.平行于直线l的直线m从原点O出发,沿x轴的正方形以每秒 1 个单位长度的速度运动,它与x轴、y轴分别相交于M、N两点,设运动时间为t秒(0 t≤ 4 ).1)求A、B两点的坐标;(2)用含t的代数式表示△MON的面积S1;3)以MN为对角线作矩形OMPN,记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2 ,①当2t≤4时,试探究S2与t之间的函数关系式;②在直线m的运动过程中,当t为何值时,S2为△OAB面积的5?216图十二答案】解(1)当x=0时,y = 4 ;当y = 0时,x = 4 .A(4,0),B(0,4);2)Q MN∥AB,O O M N =O O B A =1,OM =ON =t,S1= 12OM·ON = 12t2;3)①当2 t≤ 4时,易知点P在△OAB的外面,则点P的坐标为(t,t),x= t,F点的坐标满足即F(t,4 - t),同理E(4-t,t),则y=-t+4,PF =PE= t-(4-t)=2t-4,所以S2 = S△MPN -S△PEF = S△OMN -S△PEF=1t2-1PE·PF = 1t2-1(2t-4)(2t-4)=-3t2+8t-8;2 2 2 2 2②当0t≤2时,S = t2,t2= 44= ,解得t=- 50,t= 5 2,2 2 2 16 2 2 1235 7 两个都不合题意,舍去;当2 t≤4时,S =-3t2+8t-8= 5,解得t =3,t =7,75综上得,当t = 7或t =3时,S2为△OAB的面积的5.32 16模仿操练:如图,直线y = -x + 4与两坐标轴分别相交于 A.B 点,点M是线段AB上任意一点(A.B 两点除外),过M 分别作MC⊥OA于点C,MD⊥OB于D.(1)当点M在AB上运动时,你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化?并说明理由;(2)当点M 运动到什么位置时,四边形OCMD 的面积有最大值?最大值是多少?(3)当四边形OCMD为正方形时,将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动,设平移的距离为a(0 a4),正方形OCMD 与△AOB重叠部分的面积为S.试求S 与a的函数关系式并画出该函数的图象.6、在ABC中,C = Rt, AC = 4cm, BC =5cm,点D在BC上,且以CD=3cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终点 C 移动;点Q 以 1.25cm/s 的速度沿BC 向终点 C 移动。

过点P 作PE∥BC 交AD 于点E,连结EQ。

设动点运动时间为x 秒。

(1)用含x 的代数式表示AE、DE的长度;(2)当点Q在BD(不包括点B、D)上移动时,设EDQ的面积为y(cm2),求y与x 的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;3)当x为何值时,EDQ为直角三角形。

7、如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4 3),点B在x正半轴上,且∠ABO = 30o.动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动,设运动时间为t秒.在x轴上取两点M,N作等边△PMN.(1)求直线AB的解析式;(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示),并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值;(3)如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0 ≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值.8、两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图 1 所示放置,点C、F重合,且BC、DF在一条直线上,其中AC=DF=4,BC=EF=3.固定Rt△ABC不动,让Rt△DEF 沿CB向左平移,直到点F和点B重合为止.设FC= x,两个三角形重叠阴影部分的面积为y.(1)如图2,求当x= 1时,y的值是多少?2(2)如图3,当点E移动到AB上时,求x、y的值;(3)求y与x之间的函数关系式;9、(重庆课改卷)如图1 所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成AC1D1和BC2D2两个三角形(如图2 所示).将纸片AC1D1沿直线D2B(AB)方向平移(点A,D1,D2,B始终在同一直线上),当点D1于点B 重合时,停止平移.在平移过程中,C1D1与BC2交于点E, AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P.(1)当AC1D1平移到如图 3 所示的位置时,猜想图中的D1E与D2F的数量关系,并证明你的猜想;(2)设平移距离D2D1为x ,AC1D1与BC2D2重叠部分面积为y,请写出y与x的函数关系式,以及自变量的取值范围;(3)对于(2)中的结论是否存在这样的x 的值;使得重叠部分的面积等于原ABC面积的1?若不存在,请说明理由.4图310、已知:如图,△ABC 是边长3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P 到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P 的运动时间为t(s),解答下列问题:(1)当t 为何值时,△PBQ 是直角三角形?(2)设四边形APQC 的面积为y(cm2),求y 与t 的关系式;是否存在某一时刻t,使四边形APQC 的面积是△ABC面积的三分之二?如果存在,求出相应的t 值;不存在,说明理由;三角形面积与函数解析式的几种题型一、利用面积求解析式1、直线y = 2x+b与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b = __________ .(分类讨论)2、已知直线 y=x+3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,直线l 经过原点,与线段AB交于点C,把,△AOB的面积分为2:l两部分,求直线l 名的解析式.3、如图,已知直线 PA:y = x+n(n0)与x轴交于 A,与y轴交于 Q,另一条直线y = -2 x + m(m n)与x轴交于 B,与直线 PA 交于 P 求: (1)A,B,Q,P 四点的坐标(用m 或n表示)(2)若AB=2,且S 四边形PQOB= 5,求两个函数的解析式.64、已知直线y = -x+2与x轴、y轴分别交于A点和B点,另一条直线y =kx+b (k0)经过点C(1,0),且把AOB分成两部分(1)若AOB被分成的两部分面积相等,则k和b的值(2)若AOB被分成的两部分面积比为1:5,则k和b的值35、已知一次函数y = - 3x + 3的图象与y轴、x轴分别交于点A、B,直线y = kx + b经过OA上的三分之一点D,且交x轴的负半轴于点C,如果S AOB = S DOC,求直线y = kx + b的解析式.二、利用解析式求面积1、直线y =kx+b过点A(-1,5)和点B(m,-5)且平行于直线y =-x,O为坐标原点,求AOB的面积.2、如图,所示,一次函数y =kx+b的图像经过A,B两点,与x轴交于C3 求:(1)一次函数的解析式;(2)AOC的面积3、已知:直线y =2x-4与直线y= x + 3,它们的交点C的坐标是____________ ,设两直线与x轴分别交于 A,B, 则S Δ ABC=___ ,设两直线与y轴交于 P,Q, 则S Δ PCQ=____ .4、一次函数y1= k1x - 4与正比例函数y2= k2x的图象都经过(2,-1),则这两个函数的图象与x轴围成的三角形面积是__________ .5、已知,直线 y=2x+3 与直线 y=-2x-1. (1)求两直线交点 C的坐标;(2)求△ABC 的面积.(3)在直线 BC 上能否找到点 P,使得S△APC=6,若能,请求出点 P 的坐标,若不能请说明理由。

4 4 4 4 4 6、如图,直线 y=-4x+4 与 y 轴交于点 A,与直线 y=4x+4交于点 B,且直线 y=4x+43 5 5 5 5 与 x 轴交于点 C ,求△ ABC 的面积。

7、已知直线y = kx + b经过点A(0,6),且平行于直线y = -2x .1)求该函数的解析式,并画出它的图象;2)如果这条直线经过点P(m,2),求m的值;3)若O为坐标原点,求直线OP解析式;4)求直线y = kx + b和直线OP与坐标轴所围成的图形的面积。

三、关于面积的函数关系1、已知点A(x,y)在第一象限内,且x+y=10,点B(4,0),△OAB 的面积为S.(1)求S与x 的函数关系式,直接写出x 的取值范围,并画出函数的图像;(2)△OAB的面积为6时,求A 点的坐标;2、如图,直线y = kx + 6与x轴、y轴分别交于点E、F,点E的坐标为(-8,0),点A 的坐标为(-6,0)。

(1)求k的值;(2)若点P( x,y )是第二象限内的直线上的一个动点,在点P的运动过程中,试写出△OPA 的面积S 与x的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;27(3)探究:当点P 运动到什么位置时,△OPA 的面积为27,并说明理由。

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