-----高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数（一）向量线性运算定理1：设向量a≠0，则向量b平行于a的充要条件是存在唯一的实数λ，使ab＝λ、线性运算：加减法、数乘；1、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；2b(ba)a,b,baa)(,,，；3、利用坐标做向量的运算：设zyxzxyaaa)(,a b)b,ab,aab(a,zyx,；则zyzyxx 、向量的模、方向角、投影：4222xrzy）向量的模：1；222)）两点间的距离公式：(xz))2AB(zx(yy121122,,）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角3cosyx,cos,cos）方向余弦：4zrrr222cos1coscosacosPrja其中5）投影：a的夹角。
与为向量u u，（二）数量积，向量积bcosba a 1、数量积：2aa a）1baba 0）21 ---------ababbaba zyxyxzcba、向量积：2a,b,cabsin符合右手规则，方向：大小：0）aa1a//bab0）2ijkaabaa zxybbb zyxaab b运算律：反交换律（三）曲面及其方程S:f(x,y,z)0、曲面方程的概念：1、旋转曲面：20C:f(y,z)yoz，面上曲线22)0zxf(y,y轴旋转一周：绕22,z)0yxf(z轴旋转一周：绕、柱面：3F(x,y)0zF(x,y)0轴，准线为表示母线平行于的柱面0z、二次曲面42---------2yx22z 2a b）椭圆锥面：12a22b）椭球面：2c222xyz21a22ac旋转椭球面：222xyz21a22b）单叶双曲面：3c222yxz21a22bc）双叶双曲面：4222yxz21a2b）椭圆抛物面：52xy22 22yx zza2b）双曲抛物面（马鞍面）：62a2b）椭圆柱面：7222xy122xy12a b）双曲柱面：822xay）抛物柱面：9（四）空间曲线及其方程F(x,y,z)0、一般方程：1 G(x,y,z)03---------xx(t)xacosty y(t)，如螺旋线：、参数方程：2ytasinz(t)zzbt3、空间曲线在坐标面上的投影F(x,y,z)0H(x,y)0xoyz上的投影，消去，得到曲线在面0G(x,y,z)z0（五）平面及其方程x)B(yy)C(zz)0A(x、点法式方程：1000 ,y,z)(x n(A,B,C)，过点法向量：000 AxByCzD0、一般式方程：2xyz1a cb截距式方程：n,B,C)n,B,C)(A(A，、两平面的夹角：，322121211ACABCB221112cos22222BACCBA2111222AABCCB022121112ACB111//12A CB222P(x,z)AxCzD0,yBy到平面、点4的距离：0000Ax By Cz D000d222BA C（六）空间直线及其方程4---------AxByCzD01111、一般式方程：1AxByCzD02222xxyyzz000、对称式（点向式）方程：2mnp,y,z)s(x(m,n,p)方向向量：，过点000xmtx0yy、参数式方程：3nt0zptz0s,n,p)s,n,p)(m(m，，4、两直线的夹角：22112121mmnppn212211cos22222m2ppnm n221211mnnpp0m LL22111221mnp111L//L21mnp2225、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，Am BnCp sin22222n B ACm2pL//Am Bn Cp 0A B C L mnp第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
维空间内的点集）定义：设n、多元函数：（212RD是的一个非空子集，称映5---------射f：D→R为定义在D上的n元函数。
当n ≥2时，称为多元函数。
记为U=f（x，x，?，x），（x，x，?，x）∈D。
n1n1223、二次函数的几何意义：由点集 D所形成的一张曲面。
如 z=ax+by+c的图形22+y为一张平面，而的图形是旋转抛物线。
z=x4、极限：（1）定义：设二元函数 f(p)=f(x,y)的定义域D,p0(x0,y0)是D的聚点D,如果存在函数A对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点p（x,y）∈D∩∪（p0,δ）时,都有Ⅰf(p)-AⅠ=Ⅰf(x,y)-AⅠ﹤ε成立,那么就称常数A为函数f(x,y)当(x,y)→(x,y)时的极限，记作00limf(x,y)A(x,y)(x,y)00多元函数的连续性与不连续的定义5、有界闭合区域上二元连续函数的性质：（1）在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值；（2）在有界区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
6、偏导数：设有二元函数z=f(x,y)，点(x,y)是其定义域D内一点。
把y固定在y000而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x/y的偏增量)如果△z与△x/△y之比当△x→0/△y→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x/y的偏导数记作6---------f(x)f(x,y)x,y0000)f(x,y lim0x0x x0 f(x,y,y)f(xy)0000)(x,yf lim0y0 y0y7、混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数和f(x,y)在D(x,y)f yx xy内连续，那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。
,coscosfff其中为、方向导数：的方向角。
l8yxl9、全微分：如果函数z=f(x,在(x,y)处的全增量△z=f(x△x，y△y)-f(x,y)y)可以表示为△z=A△x+B△y+o(ρ)，其中A、B不依赖于△x,△y，仅与x,y有关，当Ρ→0，此时称函数z=f(x,y)在点（x，y）处可微分，A△x+B△y称为函数在点(x,y)处的全微分，记为z=f(x,y)zz dydxdzxy（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：12偏导数连续函数可微偏导数存在必要条件充分条件42定义3函数连续微分法ux）定义：1z）复合函数求导：链式法则27---------vy v(x,y)f(u,v),u u(x,y),vz，则若zuzz vz z uvz，v xyuxvuyyx3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用1、极值z f(x,y)1）无条件极值：求函数的极值f0x0f(x,y)，令求出所有驻点，对于每一个驻点解方程组y00Af(x,y)Bf(x,y)Cf(x,y)，，，0xy0yy000xx02BA0AC0，函数有极小值，①若，2B00AAC，函数有极大值；若，2BAC0②若，函数没有极值；2BAC0③若，不定。
zf(x,y)(x,y)0下的极值）条件极值：求函数在条件2L(x,y)f(x,y)(x,y)令：———Lagrange函数L0xL0解方程组y(x,y)02、几何应用1）曲线的切线与法平面xx(t)y(t)，则,y,z)（对应参数为t）处的M(x上一点曲线:y0000z(t)z8---------xxzzyy000)x(t切线方程为：)z(ty(t)000)(x)0)(zzy(t)(yy)z(tx)x(t法平面方程为：000000）曲面的切平面与法线2:F(x,y,z)0处的切平面方程为：,y,z)M(x 上一点曲面，则000)0(x,y,z)(zz,z)(xx)F(x,y,z)(yy )FF(x,y000y0000000z0x0xxzzyy000法线方程为：),y,z(xF(x,y,z)F),y,zF(x00x0000y00z0重积分第十章（一）二重积分n)limf(f(x,y)d,、定义：1kkk0Dk1条）62、性质：（、几何意义：曲顶柱体的体积。
3、计算：4）直角坐标1(x)(x,y)(x)yD12，bxa(x)b2f(x,y)dxdy f(x,y)dydx (x)a1D(y)(y)x12(x,y)D，ycd9---------d(y)2dyf(x,y)dxdy f(x,y)dx (y)c1D2）极坐标()()21D(,)()2f(cos, sin ) f(x,y)dxdydd)(1D（二）三重积分nf(,,)vlim1f(x,y,z)dv、定义：kkkk0k1 2、性质：3、计算：1）直角坐标z(x,y)2f(x,y,z)dv dxdy f(x,y,z)dz“先一后二”-------------D(x,y)z1b dzf(x,y,z)dxdyf(x,y,z)dv“先二后D a Z一”2）柱面坐标xcos siny,z)dddzf(cos,sinf(x,y,z)dv，zz3）球面坐标10---------x rsincossiny rsinrcosz2sindrddsin ,rcos)rf(rsin f(x,y,z)dvcos,rsin（三）应用f(x,y),(x,y)DS:z的面积：曲面z2))dxdyzA1((2D yx第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：uuuuu）无穷级数：1n2n31n1S n部分和：uuuuu，n32k1n1ku，u正项级数：0n nn1n u，u01)交错级数：(nnn1SlimS）级数收敛：若2存在，则称级数u收敛，否则称级数u发散n nnn n1n13）绝对收敛：u收敛，则u绝对收敛；nn n1n111---------条件收敛：u收敛，而u发散，则u条件收敛。
nnn n1n1n1定理：若级数u绝对收敛，则u必定收敛。
nn n1n12、性质：1）级数的每一项同乘一个不为零的常数后，不影响级数的收敛性；(ab)收敛且，其和为nnσ，，则分别收敛于和s与2）级数a与b nnn1n1n1s+σ3）在级数中任意加上、去掉或改变有限项，级数仍然收敛；4）级数收敛，任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。
5）必要条件：级数u收敛即limu0.nnn n13、审敛法u，u正项级数：0n nn1SlimS）定义：1存在；nn2）u收敛S有界；nnn1v(n1,2,3,)u为正项级数，且v，u）比较审敛法：nn3nn1n1nv收敛，则u收敛；若u发散，则v发散.若nnnnn1n1n1n1mnm时，v为正项级数，若存在正整数，当，）比较法的推论：u4nnn1n1mnm ukv时，，当，而v收敛；若存在正整数u收敛，则nn n nn11n12---------ukv，而v发散，则u发散.nn nnn1n1p）；②比较大小；1/np级数做题步骤：①找比较级数（等比数列，调和数列，③是否收敛。