锐角三角函数（1）教学目标：1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。

2.掌握三角函数定义式：sinA=斜边的对边A ∠， cosA=斜边的邻边A ∠，重点和难点重点：三角函数定义的理解。

难点：直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系及求三角函数值。

【教学过程】一、情境导入如图是两个自动扶梯，甲、乙两人分别从1、2号自动扶梯上楼，谁先到达楼顶?如果AB 和A ′B ′相等而∠α和∠β大小不同，那么它们的高度AC 和A ′C ′相等吗？AB 、AC 、BC 与∠α，A ′B ′、A ′C ′、B ′C ′与∠β之间有什么关系呢？ ------导出新课 二、新课教学 1、合作探究 （1）作2、三角函数的定义在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即cosA=斜边的邻边A ∠∠A 的对边与∠A 的邻边的比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即C′B′A′C BA 213米3米2米4米βatanA=∠A的对边∠A的邻边tanA=∠A的对边∠A的邻边锐角A 的正弦、余弦和正切统称∠A 的三角函数.注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的 “sin ”没有意义，其中A 前面的“∠”一般省略不写。

师：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗？ 师：（点拨）直角三角形中，斜边大于直角边． 生：独立思考，尝试回答，交流结果． 明确：0＜sina ＜1，0＜cosa ＜1.巩固练习：课本第6页课内练习T1、作业题T1、2 3、例题教学：课本第5页中例1. 例1如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°，AB=5,BC=3, 求∠A, ∠B 的正弦,余弦和正切.分析：由勾股定理求出AC 的长度，再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系求出各函数值。

师：观察以上计算结果,你发现了什么? 明确：sinA=cosB ，cosA=sinB ，tanA ·tanB=14、课堂练习：课本第6页课内练习T2、3，作业题T3、4、5、6 三、课堂小结：谈谈今天的收获 1、内容总结（1）在Rt ΔABC 中,设∠C=900，∠α为Rt ΔABC 的一个锐角，则∠α的正弦斜边的对边αα∠=sin ， ∠α的余弦 斜边的邻边αα∠=cos ，∠α的正切的邻边的对边ααα∠∠=tan（2）一般地，在Rt △ABC 中, 当∠C=90°时，sinA=cosB ，cosA=sinB ，tanA ·tanB=1 2、方法归纳在涉及直角三角形边角关系时，常借助三角函数定义来解 四、布置作业：练习卷CBA锐角三角函数（2）教学目标(一)教学知识点1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.(二)思维训练要求1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教学重点1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.教学难点进一步体会三角函数的意义.教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)[生]我们组设计的方案如下：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可.[生]在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，AD ＝BE ，BE 是已知的，设BE=a 米，则AD ＝a 米，如何求CD 呢?[生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一 半，即AC ＝2CD ，根据勾股定理，(2CD)2＝CD 2+a 2. CD ＝33a. 则树的高度即可求出.[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=aCDAD CD，则CD= atan30°，岂不简单.你能求出30°角的三个三角函数值吗? Ⅱ.讲授新课1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°. [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝21. sin30°表示在直角三角 形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ，所以sin30°＝212=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝2323=a a . tan30°=33313==a a [师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?[生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=2323=a a ,cos60°=212=a a , tan60°＝33=aa. [生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=23cos60°=sin(90°-60°)=sin30°=21. [师生共析]我们一同来 求45°角的三角函数值.含 45°角的直角三角形是等腰 直角三角形.(如图)设其中一 条直角边为a ，则另一条直角边也为a ，斜边2a.由此可求得 sin45°=22212==a a , cos45°＝22212==a a , tan45°=1=aa[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)30°、45°、60°角的三角函数值三角函数角sin αco αtan α30° 21 23 3345° 22 22 160°23 21 3这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为1，2，3，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大. [师]再来看第二列函数值，有何特点呢?[生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为3，2，1，余弦值随角度的增大而减小.[师]第三列呢?[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊.[师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、 45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒. 2.例题讲解(多媒体演示) [例1]计算：(1)sin30°+cos45°；(2)sin 260°+cos 260°-tan45°.分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin 260°表示(sin60°)2，cos 260°表示 (cos60°)2.解：(1)sin30°+cos45°=2212221+=+,(2)sin 260°+cos 260°-tan45°=(23)2+(21)2-1 =43 +41 -1＝0.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 解：根据题意(如图) 可知，∠BOD=60°， OB=OA ＝OD=2.5 m ， ∠AOD ＝21×60°＝30°， ∴OC=OD ·cos30° =×23≈(m). ∴AC ＝ 所以，最高位置与最低位置的高度约为 0.34 m. Ⅲ.随堂练习 多媒体演示 1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°； (3)22sin45°+sin60°-2cos45°.解：(1)原式＝23-1=223-；(2)原式=21+=23213+=(3)原式=22×22+23×22；=22231-+2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?解：扶梯的长度为21730sin 7=︒=14(m)，所以扶梯的长度为14 m.Ⅳ.课时小结 本节课总结如下：(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.sin30°＝21，sin45°＝22，sin60°＝23；cos30°＝23，cos45°＝ 22，cos60°＝21；tan30°= 33，tan45°＝1，tan60°=3.(2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小. Ⅴ.课后作业 练习卷 Ⅵ.活动与探究(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈，3≈[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E ，直射到乙楼D 点，D 点向下便接受不到光线，过D 作DB ⊥AE(甲楼).在Rt △BDE 中.BD=AC ＝24 m ，∠EDB ＝30°.可求出BE ，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE. [结果]在Kt △BDE 中，BE=DB ·tan30°＝24×33=83m.∵DF ＝BE ， ∴DF=83≈8×＝(m).甲楼的影子在乙楼上的高CD=≈(m). 备课参考资料 参考练习1.计算：13230sin 1+-︒.答案：3-32.计算：(2+1)-1+2sin30°-8答案：-23.计算：(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1.答案：25 4.计算：sin60°+︒-60tan 11答案：-21 5.计算；2-3-(0032+π)0-cos60°-211-.答案：-283+有关三角函数的计算（1）CAB教学目标：使学生能用计算器求锐角三角函数值，并能初步运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形的问题。