北京交通大学2020年大学生数学竞赛试题（2020年6月28日晚7：00—9：30）学院与班级 学号 姓名 联系方式一、填空题（每小题6分，满分30分） 1．极限 1limnn i →∞== 。

2．定积分4sinarctan x x e dx ππ-⎰= 。

3．设:1x y z ∑++=，则曲面积分()2245I x y z dS ∑=+++=⎰⎰ 。

4．设()f x 在[0,1]上连续且单调增加，2112(0)1,(1)2,()3f f f x dx -===⎰，其中1()f x -是()f x 的反函数，求积分11()()xdx f x f y dy ⎰⎰= 。

5．函数()2sin 0x y e x x -=≥与x 轴所围图形的面积= 。

二、（本题满分10分）设函数()f x 具有连续的二阶导数，且(0)=0,(0)0,()0f f f x '''=>，在曲线()y f x =上任意点()(),()0x f x x ≠处作切线，此切线在x 轴上的截距记为u ，求极限0()lim()x xf u uf x →。

三、（本题满分10分）设函数()f x 在(),+-∞∞内三阶可导， (1)1f =-，(1)3f -=，且1x =±是其驻点，证明：存在()1,1ξ∈-，使得()6f ξ'''=。

四、（本题满分10分）计算()()()222222Lyz dx z x dy x y dz +++++⎰，其中L 是球面()22220x y z Rx z ++=>与()22=20,0x y rx r R z +<<>的交线，此曲线的方向从Oz轴正向看为逆时针方向。

五、（本题满分10分）在包含圆222x y y +=的所有椭圆22221x y a b+=中，当,a b 为何值时，椭圆的面积最小？六、（本题满分10分）设函数(,)z z x t =具有连续的二阶偏导数，满足波动方程2222z zx t∂∂=∂∂，证明：（1）存在具有二阶导数的函数(),()F x G x ，使得(,)()()z x t F x t G x t =++-；（2）若()(,0)=(),,0()z z x f x x g x t ∂=∂，则[]11(,)()()()22x tx tz x t f x t f x t g y dy +-=++-+⎰。

七、（本题满分10分）设函数()f x 在[0,1]上具有连续导数，且(0)(1)0f f ==，证明：[]11221()()4f x dx f x dx '≤⎰⎰。

八、（本题满分10分）求幂级数()()212!!21!!n n n x n ∞=+∑的收敛域与和函数，其中()()()2!!222642n n n =⋅-⋅⋅，()()()21!!2121531n n n +=+⋅-⋅⋅，并求数项级数()()()12!!2121!!nn n n n ∞=++∑的值。

参考答案：一、1．解：由不等式11111nn n n ni i i i i ======≤=得1lim nn i →∞==()1101lim ln 12nn i →∞===。

2．解：注意到arctan +arctan ,2x x e e x R π-=∀∈。

原式=440sin arctan sin arctan xx x e dx x e dx ππ-+⎰⎰，对第一个积分令x t =-，则()04440sinarctan =sin arctan sin arctan xtt x e dx t edt t e dt πππ----=⎰⎰⎰，于是原式=224444000313sin arctan sin arctan sin sin 242216x xx e x e dx xdx xdx ππππππππ-+====⎰⎰⎰。

3．解： 注意到0xdS ydS zdS xydS yzdS xzdS ∑∑∑∑∑∑======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，()2245I x y z dS ∑=+++=⎰⎰()222416254168102040xy z xy yz xz x y z dS∑⎡⎤+++++++++⎣⎦⎰⎰ =()22241625xy z dS ∑+++⎰⎰其中(121,0,0,325=2582004x y z x y z dS dS ∑∑++=≥≥≥⨯=⨯=⎰⎰⎰⎰：()()111222222:100,0,0416=21=2181681xx yz x y z xyz dS z dS z dS dxx y -∑∑∑++=≥≥≥++⨯=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=30111(1)334x dx -=⨯=， 于是原式=()22241625xy z dS ∑+++⎰⎰=4、解：由互为反函数关于y x =对称，故1210124()12()233f x dx f x dx -=⨯-=-=⎰⎰。

严格证明：1111100()()()2[()]()f x dx xf x xdf x f f x df x -=-=-⎰⎰⎰=211242()233f t dt --=-=⎰， 容易证明22111001148()()=()2239x dx f x f y dxdy f x dx ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰。

5. 解:()(1)(1)002sin 2sin 21sin n n nx x x n n nnS e xdx e x dx e xdx ππππ+++∞∞∞--=====-∑∑⎰⎰⎰=()()(1)1(1)021sin 1cos(1)cos n nn xn n n n ne xdx e n e n ππππππ+∞∞+--+-==⎡⎤-=-+-⎣⎦∑∑⎰=()()()11111cos 1cos 121cos 1nn nn n n n n n en en e n ππππππ∞∞∞+---===---+=-+∑∑∑=112+1=2111n n e e ee e πππππ-∞--=++=--∑。

二、解：过(),()x f x 的切线方程为，()()()Y f x f x X x '-=-，令=0Y =，则()()f x u X x f x ==-'，于是 ()()221111()(0)(0)22f x f f x f x f x ξξ'''''=++=，故()221()2f u f u ξ''=，()2100021()2lim lim lim 0()()x x x f x f x u x x f x f x ξξ→→→⎛⎫'' ⎪⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪'''⎝⎭ ⎪⎝⎭， 因此21000022()1()()()2lim lim lim lim1()()2x x x x f x x x f u xf u u f x uf x x x u f x ξξ→→→→-'''==='' =()()232011121lim 2x f x f x ξξ→''-=''=。

三、证明：构造一个三次多项式()p x ，使得(1)1,(1)3,(1)(1)0p p p p ''=--==-=。

故设()(1)(1)p x a x x '=-+，于是31()3p x ax ax c =-+，代入(1)1,(1)3p p =--=，得 113133a a c a a c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，解得3,1a c ==，故3()=31p x x x -+。

令()()()x f x p x ϕ=-，则(1)(1)0ϕϕ-==，由罗尔定理，()1,1η∃∈-，使得()0ϕη'=。

又()=(1)=(1)=0ϕηϕϕ'''-，存在1211ξηξ-<<<<，使得12()0=()ϕξϕξ''''=。

再由罗尔定理，知存在()()12,1,1ξξξ∈⊂-，使得()()()0f p ϕξξξ'''''''''=-=，即()()6,1,1f ξξ'''=∈-。

四、 由斯托克斯公式得[]2()cos ()cos ()cos I y z z x x y dSαβγ∑=-+-+-⎰⎰，其中∑是球面()22220x y z Rx z ++=>上由L 围成的区域的上侧，cos ,cos ,cos αβγ是球面外法向量的方向余弦，故cos =,cos ,cos x R y zR R Rαβγ-==，从而 2()()()x R y z I y z z x x y dS R R R ∑-⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰因为∑关于0y =对称，因此0ydS ∑=⎰⎰又R dS dxdy z ===，22:2xy D x y rx +≤，则 2222xyD RI z dxdy R dxdy Rr z π∑=⋅==⎰⎰⎰⎰。

五、解：依题意，面积最小的椭圆必与圆相切，设切点为(),x y ，则由圆的方程222x y y +=，得1x y y '=- ，又由22221x y a b +=知，22b x y a y'=-，于是221x b xy a y=-- ，当0x ≠时，222b y b a =-，代入椭圆方程22221x y a b +=，得 ()2222221b x a b a ⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎝⎭，再代入圆的方程222x y y +=，得22240b a b a -+=。

再求椭圆面积(),0S ab a b π=>在约束条件22240b a b a -+=下的最小值。

设拉格朗日函数()()2224,,F a b ab b a b aλπλ=+-+令()()2322224240 (1)220 (2)0 (3)a b F b ab a F a a b b F b a b a λπλπλ⎧'=+-+=⎪⎪'=+-+=⎨⎪'=-+=⎪⎩，由（1）（2）得2a =3）式，解得2a b S ===。

当0x =时，切点为()0,2，由y =在切点处220,y y a'''==-，于是椭圆在该点处的曲率为22K a==，而该点的曲率圆为222x y y +=，半径为1，所以有212a =，于是2a b ==，2S =>，因此椭圆的最小面积为2S =，此时a b ==，椭圆的方程为22629x y +=。