有限元方法大作业
课程设计题目：
若干个质量不等的仪器要安装在均匀悬臂梁（或板）不同位置上，仪器间要有预留安全距离，试确定一种安装方法，使梁（或板）的变形最小或第一阶固有频率最高。

题目分析：
1 题目中没有给定梁的材料和形状、仪器的数量和质量，以及仪器的安全距离。

在这里不妨假定，梁的材料为结构钢，其密度为、杨氏模量为Pa、泊松比为0.3，梁的形状为。

仪器的数量为3个，均匀的安装在梁上，其质量及其组合如表1所示。

表1 仪器的质量、及其组合
2 本次采用solidworks建立梁的实体模型，并导入ansys workbench软件中进行计算。

梁模型左端固定，仪器安装顺序依次从左到右。

3 在题目中，需要找到一种安装组合使得梁的变形最小或第一阶固有频率最高，这分别是静力学分析问题和模态分析问题。

在静力学分析中，如图2-1所示，在梁上安装仪器的位置上，加上一个加力面（半径为20mm的圆）。

在加力面上可以施加均布载荷，这里将仪器的质量换算成相应的均布载荷，施加到相应的加力面上，如图2-2所示。

图2-1 ansys workbench实体梁的静力学分析
图2-2 加力面和加力面上的均布载荷
采用solid187单元对模型进行网格划分，solid187单元是一个高阶3维10节点固体结构单元，如图2-3所示，单元通过10个节点来定义，每个节点有3个沿着xyz方向平移的自由度。

并对加力面附近进行加密，如图2-4所示。

进而进行静力学分析，得到梁的总体变形量（total-Deformation）。

图2-3 solid187单元
图2-4 梁模型网格划分和加力面加密
4 梁的固有频率可由无阻尼自由振动方程求解：
令：
得到：
当：
从而求的梁的自振频率。

在ansys workbench中，将仪器的质量用质量点代替，并安置在相应的位置上，如图2-5所示。

采用solid186单元对模型进行网格划分，其结果如图2-6所示，solid186是一个高阶3维20节点固体结构单元，如图2-7所示，单元通过20个节点来定义，每个节点有3个沿着xyz方向平移的自由度。

然后，求解梁模型的前6阶的固有频率。

图2-5 梁模型上的质量点
图2-6 梁模型模态分析网格划分
图2-7 solid186单元
分析结果：
1 静力学分析
1)组合1：m1-m2-m3
图3-1 组合1：m1-m2-m3变形图
2)组合2：m1-m3-m2
图3-2 组合2：m1-m3-m2变形图
3)组合3：m2-m1-m3
图3-3 组合3：m2-m1-m3变形图
4)组合4：m2-m3-m1
图3-4 组合3：m2-m3-m1变形图
5)组合5：m3-m1-m2
图3-5 组合5：m3-m1-m2变形图
6)组合6：m3-m2-m1
图3-6 组合6：m3-m2-m1变形图2 模态分析
组合1 组合2 组合3
组合4 组合5 组合6
图3-7 各组合前6阶固有频率
结论
梁模型的静力学分析和模态分析结果如下表2所示。

梁模型左端固定，仪器安装顺序依次从左到右。

有上表可知，组合6从左到右，仪器的质量依次减小，其变形量最小，一阶固有频率最大。

并且，当质量越大的仪器越靠近固定端的时候，整个梁的变形量最小，其一阶固有频率越大。