常用混凝土受压应力—应变曲线的比较及应用
摘要：为了对受弯截面进行弹塑性分析及其他研究，在对各种混凝土受压应力应变曲线研究的基础上，总结出了四种常用曲线，这些曲线已经被广泛应用。
对四种常用曲线进行简介，并指出了它们的适用围及优缺点。
在进行受弯截面弹塑性分析时，介绍了运用四种常用曲线对其受力性能进行分析的计算模式，并且运用实际案例进行受弯截面弹塑性分析，方便工程师们参考和借鉴。
关键词：混凝土；受压应力应变曲线；本构关系；受弯截面
0 引言
混凝土受压应力—应变曲线是其最基本的本构关系，又是多轴本构模型的基础，在钢筋混凝土结构的非线件分析中，例如构件的截面刚度、截面极限应力分布、承载力和延性、超静定结构的力和全过程分析等过程中，它是不可或缺的物理方程，对计算结果的准确性起决定性作用。
近年来，国外学者对其进行了大量的研究及改进，已有数十条曲线表达式，其中部分具有代表性的表达式已经被各国规采纳。
常用的表达式包括我国《混凝土结构设计规》(GB50010-2010)、CEB-FIP Model Code(1990)、清华过镇海以及美国学者Hognestad 建议的混凝土受压应力应变关系，在已有研究的基础上，本文将对各个表达式在实际运用中的情况进行比较，并且通过实际算例运用这些表达式进行受弯截面弹塑性分析，从而为工程师们在实际应用时提供参考和借鉴。
1 常用混凝土受压应力—应变曲线比较
至今已有不少学者提出了多种混凝土受压应力应变曲线，常用的表达式采用两类，一类是采用上升段与下降段采用统一曲线的方程，一类是采用上升段与下降段不一样的方程。
1.1 中国规
我国《混凝土结构设计规》（GB50010-2010）采用的模式为德国人R üsch1960年提出的二次抛物线加水平直线，如图1-1所示。
上升阶段的应力应变关系式为：
)
(])(2
[020
00ε≤εεε
-εε⨯σ=σ （1-1）
A 点为二次抛物线的顶点，应力为0σ，是压应力的最大值，A 点的压应变为0ε。
下降阶段的关系式为：
0σσ= )(0u εεε≤< （1-2）
B 点为第二阶段末，其压应变为εu 。
过了B 点，认为混凝土已破坏，不能再工作，故取εu 为混凝土受压时的极限应变。
图1-1 Rusch理论曲线
. .
1.2 欧洲规
欧洲规CEB-FIP Model Code(1990)建议的应力应变关系为Sargin1971年提出的有理分式来表示，如图1-2所示，应力应变关系为：
1
102
1
1100)
2(1)(c c c c c E E E E εεεε
εεσσ-+--= |)||(|u εε≤ （1-3）
])4())(
)(
21
[(
1
1
212
1
0c c u c c u
cl
u
εε
ξεεεεεεξεεσσ-+-
-= |)||(|u εε> （1-4）
σ p 图1-2 Sargin曲线
式中:εc1为相应于压应力峰值σ0的压应变εc1=-0.0022，εc1为从原点到压应力峰值点的割线模量, 1c E =0σ/0.0022，0E 为混凝土初始弹性模量；εu 为混凝土极限压应变, 其大小与1c E 、0E 及εc1有关。
1.3 清华过镇海曲线
清华大学的过镇海教授在1982年结合自己多年的研究成果提出了自己的混凝土受
压应力-应变曲线表达式，如图1-3所示。
第I 阶段中，OA 仍为二次抛物线，与德国人R üsch 提出的抛物线模式相同如下：
])(2
[20
00εε
εεσσ-⨯= )(0εε≤ （1-1） 第II 阶段中，下降段AB 用有理分式表示如下：
200
0)1(εεεεαεεσσ+-= )(0u εεε<< （1-5）
σ 0
图1-3 过镇海曲线
其中，α，0ε见下表：
1.4 美国Hognestad 曲线
美国人E.Hognestad 在1951年提出的应力-应变全曲线方程分为上升段和下降段，
上升段与德国人R üsch 所提出模型的上升段相同，但是下降段采用一条斜率为负的直线来模拟，如图1-4所示，上升段表达式如下：
])(2
[20
00εε
εεσσ-⨯= )(0εε≤ （1-1） 下降段表达式为：
)1(0
0εεεεα
σσ---=u )(0u εεε<< （1-6）
其中：α=0.015；εu =0.038经过化简以后，表达式变为如下： )
()
012
.0014.0(
u 00ε<ε<εε
-σ=σ (1-7)
σ0
图1-4 Hongestad曲线
0.85σ0
εu
对于以上四种常见的混凝土单轴受压应力—应变曲线先将其优缺点进行总结，如下表：
2 计算原理
混凝土受压应力-应变曲线最常见的用途就是进行受弯截面弹塑性分析，即在外加荷载作用下分析混凝土的最大弯矩，最大刚度等问题。
在进行计算之前应假定混凝土受弯构件满足平截面假定，不考虑混凝土的抗拉强度，以及材料应力应变物理关系。
2.1 基本方程 （1）平衡条件
⎪⎩⎪⎨⎧-σ+⎰σ=⎰=σ-σ∑=)
x h (A bdy y M 0A bdy 0X 0s s x
0x
0s s （2-1） （2）变形条件
⎩⎨
⎧-φ=εφ=ε)x h (y
s （2-2） （3）物理条件
①混凝土受压应力应变曲线。
根据实际情况从常用曲线中选取。
②钢筋受拉（压）曲线 ，如图2
s s s E εσ= )(y s
εε< (2-3)
y
s σσ=
)
(u s y εεε<< (2-4)
图2 钢筋受拉（压）曲线
. .
2.2 计算方法
将变形（相容）条件代入物理条件得： 压区混凝土：
在应力到达峰值应力之前即)(0εε≤，四种常用曲线均采用同一个表达式即：
])(2
[20
00εε
εεσσ-⨯= （1-1） 在应力超过峰值应力之后即)(0u εεε<<，四种常用曲线的表达式发生了区别分别
是：
中国规 0σσ= （1-2）
欧洲规 1
102
1
1100)
2(1)(c c c c c y E E y
y E E εφεφεφσσ-+--= （1-3）
清华过镇海曲线 0200
)1(εφεφαεφσσy
+-= （1-5）
美国Hognestad )012
.0014.0(0ε
σσ-= （1-7）
拉区钢筋：
将σs =εs E s 和σs =σy 代入式(2-1)即可求解受压区高度x （其中x h -=
ε
φ）
，最后将受压区高度x 代入式（2-2）即可求得截面破坏时的弯矩以及截面破坏后卸载时的弯矩。
3 应用举例
已知某钢筋混凝土受弯构件，截面尺寸如右图所示。
已知：As=942mm2，Es=2×105MPa ，σot = 2.2MPa ，σy =364MPa 。
其中：σ0=22MPa ，ε0=0.002,
εu =0.0038, σy =364MPa, εy =0.00182。
现对该构件使用四种曲线 分别进行对比分析。
当ε=ε0时，不管使用哪一种曲线最大弯矩均相同，经过计算为
M 0为146.92KN ·m 。
当ε=εu 时，应用我国《混凝土结构设计规》(GB50010-2010)
由于
单位:mm
σ=σu M u仍为146.92KN·m；应用美国Hognestad提出的曲线模式计算可得Mu为146.32KN·m，由此可见两者相差不大。
欧洲规和清华过镇海中所提出的混凝土受压应力应变曲线虽然更接近于实际情况，但是公式复杂不宜在工程中列出，这里就不再赘述。
4 结语
（1）四种常用的混凝土受压应力应变曲线各有其特点及适用围，通过对四种混凝土受压应力应变曲线的对比分析方便了在实际工程当中更好的应用。
（2）在进行混凝土受弯构件弹塑性分析时，需要用到混凝土受压应力应变曲线，这里对其计算方法做了简介并且通过实际举例进一步阐明了在实际工程中如何应用。
参考文献：
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