18. （Ⅰ）证明：连接 AC
底面 ABCD 为菱形， ABC 60 ，
ABC 是正三角形， E 是 BC 中点， AE BC 又 AD // BC ， AE AD
PA 平 面 A B C D， AE 平 面 A B C D， PA AE ,又 PA AE A
AE 平面 PAD ， 又 AE 平面 AEF
15.144；
16.①②⑤.
17.解（Ⅰ）由 bn log2 an 和 b1 b2 b3 12 得 log2 a1a2a3 12 ，
a1a2a3 212.
------------------------------------2 分
设等比数列an的公比为 q ，a1 4 a1a2a3 4 4q 4q2 26 q3 212 ，
在 RtDAME 中， sin AME 15 ，即 AE 6 ，
5
AM 2
设 AB 2a ，则 AE 3a ，得 AM 2a ，
又 AD AB 2a ，设 PA = 2b ，则 M (0, a,b) ，
所以 AM = a2 + b2 = 2a ，
从而 b = a ， PA AD 2a ，
设 n (x, y, z) 是平面 AEF 的一个法向量，则
n
AE
0
n AF 0
3ax 0
3ax 2
ay 2
az
0
取
z
a
，得
n
(0,2a, a)
………………9 分
又 BD 平面 ACF ， BD ( 3a,3a,0) 是平面 ACF 的一个法向量， ……10 分
cos n, BD n BD 6a2 15
（Ⅱ）①由题意知,AQI 在[170,180)内的天数为 1,
由图可知,AQI 在[50,170)内的天数为 17 天,故 11 月份 AQI 小于 180 的天数为 1+17=18,
又 18 3 ,则该学校去进行社会实践活动的概率为 3 .---------------------------------5 分
2019 年高中毕业年级第一次质量预测
理科数学 参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1.C 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C 7.B
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. 20； 三、解答题（共 70 分）
14.[-13,-4]；
8.B 9.A 10.C 11.B 12.D
（Ⅱ）由（1）得 bn log2 4n 2n ，
cn
4
2n 2n
1
4n
1
nn 1
4n
1 n
1 n 1
4n
--------------------------------7 分
设数列
1
nn
1
的前 n
项和为
An
，则
An
1
1 2
1 2
1 3
1 n
1 n 1
n n 1 -----9
分
设数列
n BD 5a 2 3a
5
……………………11 分
二面角 C AF E 的余弦值为 15 . 5
……………………12 分
19.（Ⅰ）设重度污染区 AQI 的平均值为 x,则 74×2+114×5+2x=118×9,解得 x=172.
即重度污染区 AQI 平均值为 172.-----------------------------------------------------------2 分
即 x0 x ， y0
2y 3
又点 M 在为圆 C : x2 y 2 4 上
X0
1
2
3
204 459 297 11
P
1015 1015 1015 203
数学期望 EX= 0 204 +1 459 + 2 297 + 3 11 6 .----------------------------------12 分 1015 1015 1015 203 5
20.解：（Ⅰ）设点 M x0 , y0 ， Px, y，由题意可知 Nx0 ,0 2PN 3MN ，2x0 x, y 3 0, y0 ，------------------------------------------------2 分
平面 AEF 平面 PAD. ………………………4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得， AE, AD, AP 两两垂直，以 AE, AD, AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴，
z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ……………………5 分 AE 平面 PAD ， AME 就是 EM 与平面 PAD可能取值为 0,1,2,3,且
P(X=0)=
C138C102 C330
204 1015
,P(X=1)=
C128C112 C330
459 1015
,
P(X=2)=
C118C122 C330
297 1015
,P(X=3)=
C108C132 C330
11
,
203
则 X 的分布列为-------------------------------------------------------------10 分
计算得出 q 4
-------------------------------------4 分
an 4 4n1 4n --------------------------------------------------------------------------------------6 分
……………………7 分
则 A(0,0,0), B( 3a,- a,0) ， C( 3a, a,0), D(0, 2a,0) ， P(0,0, 2a) ，
E( 3a,0,0), F( 3a , a , a), 22
所以 AE ( 3a,0,0), AF ( 3a , a , a) ， BD ( 3a,3a,0) ，…………8 分 22
4n
的前 n 项和为 Bn ，则 Bn
4 4n 4 1 4
4 3
4n 1
，--------------------------------11 分
Sn
n n 1
4 3
4n
1
--------------------------------------------------------------------------------------12 分