2020-2021学年第一学期期末测试人教版八年级数学试题1. 若等式（x +6）x +1＝1成立，那么满足等式成立的x 的值的个数有（ ）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个2. 下列代数式中，属于分式的是（ ）A 5x B. 3xy C. 3x D. 1x + 3. 某厂准备加工500个零件,在加工了100个零件后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍,结果共用6天完成了任务.若设该厂原来每天加工x 个零件,则由题意可列出方程()A.10050062x x+= B. 10050062x x += C 10040062x x += D. 10040062x x += 4. 已知3a ＝6，3b ＝4，则23a b -的值为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 95. 已知2m n +=，mn 2=-，则()()11m n ++的值为( )A. 6B. 2-C. 0D. 16. 下列多项式中，能分解因式的是（ ）A. 2m n +B. 21m n -+C. 2m n -D. 221m m -+ 7. 如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，则下列结论错误的是( )A. △ABD ≌△ACEB. ∠ACE+∠DBC ＝45°C. BD ⊥CED. ∠BAE+∠CAD ＝200°8. 如图，在直角三角形ABC 中，AC=8，BC=6，∠ACB=90°，点E 是AC 的中点，点D 在AB 上，且DE ⊥AC于E ，则CD=（ ）A. 3B. 4C. 5D. 69. 在△ABC 中，∠BAC＝115°，DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，则∠EAG 的度数为（ ）A. 50°B. 40°C. 30°D. 25°10. 如图，已知AB ＝AC ，AD ⊥BC ，AE ＝AF ，图中共有（ ）对全等三角形.A. 5B. 6C. 7D. 811. 如图，在△ABC ，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足恰好是边AB 的中点E ，若AD ＝3cm ，则BE 的长为（ ）A. 332cmB. 4cm 2 D. 6cm12. 某广场准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点的周围，正方形和正三角形地砖的块数分别是（ ）A. 1、2B. 2、1C. 2、2D. 2、313. 已知实数x ,y 满足|4|80x y -+-=,则以x ,y 的值为两边长的等腰三角形周长是（ ）A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对 14. 以下列数据为长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A. 2 cm 、3cm 、5cmB. 2 cm 、3 cm 、4 cmC. 3 cm 、5 cm 、9 cmD. 8 cm 、4 cm 、4 cm15. 将长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC 、BD 为折痕，若∠ABC=35°,则∠DBE 的度数为A. 55°B. 50°C. 45°D. 60° 16. 当x ______时，分式12x x -+有意义． 17. 分解因式2242xy xy x ++=___________18. 如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，30BAC ∠=，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60得到11AB C ∆，连接1BC ，则1BC 的长为__________．19. 在△ABC 中，∠A=∠B+∠C ，∠B=2∠C ﹣6°，则∠C 的度数为_____．20. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，DE AC ⊥，垂足为E ，50BAC ∠=︒，则ADE ∠的度数是______．21. 已知---2142b b ac x =a ，--2242b +b ac x =a，若，,===-322a b c ，试求12x x +值． 22. 阅读下面的材料：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式225a a -+的最小值.方法如下： ∵()2222521414a a a a a -+=-++=-+，由()210a -≥，得()2144a -+≥；∴代数式225a a -+的最小值是4.（1）仿照上述方法求代数式2107x x ++的最小值.（2）代数式2816a a --+有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.23. 如图，A （0，4）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t 秒．（1）若AB //x 轴，求t 的值；（2）当t =3时，坐标平面内有一点M （不与A 重合），使得以M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，请求出点M 的坐标；24. 如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=︒，BOC α∠=，将CO 绕点C 顺时针方向旋转60︒得到CD ，连接AD ，OD .（1）当150α=︒时，判断AOD ∆的形状，并说明理由；（2）求DAO ∠的度数；（3）请你探究：当α为多少度时，AOD ∆是等腰三角形？25. 如图，AB ∥EF ，AD 平分∠BAC ，且∠C ＝45°，∠CDE ＝125°，求∠ADF 度数．答案与解析1. 若等式（x +6）x +1＝1成立，那么满足等式成立的x 的值的个数有（ ）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个 【答案】C【解析】【分析】分情况讨论：当x+1=0时；当x+6=1时，分别讨论求解．还有-1的偶次幂都等于1．【详解】如果（x+6）x+1=1成立，则x+1=0或x+6=1或-1，即x=-1或x=-5或x=-7，当x=-1时，（x+6）0=1，当x=-5时，1-4=1，当x=-7时，（-1）-6=1，故选C ．【点睛】本题考查了零指数幂的意义和1的指数幂，关键是熟练掌握零指数幂的意义和1的指数幂. 2. 下列代数式中，属于分式的是（ ）A. 5xB.3xy C. 3x D. 【答案】C【解析】【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，从而得出答案．【详解】根据分式的定义A ．是整式，答案错误；B ．是整式，答案错误；C ．是分式，答案正确；D ．是根式，答案错误；故选C ．【点睛】本题考查了分式的定义，在解题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．3. 某厂准备加工500个零件,在加工了100个零件后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍,结果共用6天完成了任务.若设该厂原来每天加工x 个零件,则由题意可列出方程() A.10050062x x+= B.10050062x x += C. 10040062x x += D. 10040062x x += 【答案】D【解析】【分析】 根据共用6天完成任务，等量关系为：用老机器加工100个零件用的时间＋用新机器加工400个用的时间＝6，即可列出方程．【详解】解：设该厂原来每天加工x 个零件， 根据题意得：10040062x x+=. 故选D ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．4. 已知3a ＝6，3b ＝4，则23a b -的值为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 9 【答案】D【解析】【分析】逆用同底数幂的除法法则以及幂的乘方法则进行计算，即可解答．【详解】∵3a ＝6，3b ＝4，∴23a b -=(3a )2÷3b =36÷4=9， 故选D.【点睛】本题考查同底数幂的除法法则以及幂的乘方法则，解题的关键是掌握相关法则的逆用. 5. 已知2m n +=，mn 2=-，则()()11m n ++的值为( )A. 6B. 2-C. 0D. 1 【答案】D【解析】【分析】根据整式乘法法则去括号，再把已知式子的值代入即可．【详解】∵2m n +=，mn 2=-，∴原式()11221m n mn =+++=+-=．故选：D ．6. 下列多项式中，能分解因式的是（ ）A 2m n +B. 21m n -+C. 2m n -D. 221m m -+【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的各个方法逐一判断即可．【详解】解：A ．2m n +不能因式分解，故本选项不符合题意；B ．21m n -+不能因式分解，故本选项不符合题意；C ．2m n -不能因式分解，故本选项不符合题意；D ．()22211m m m -+=-，能因式分解，故本选项符合题意．故选D ．【点睛】此题考查的是因式分解，掌握因式分解的各个方法是解决此题的关键．7. 如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，则下列结论错误的是( )A. △ABD ≌△ACEB. ∠ACE+∠DBC ＝45°C. BD ⊥CED. ∠BAE+∠CAD ＝200°【答案】D【解析】【分析】 根据SAS 即可证明△ABD ≌△ACE ，再利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质即可一一判断．【详解】∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAC +∠CAD ＝∠DAE +∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE ．在△BAD 和△CAE 中，∵AB AC BAD CAE AD AE ∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD ＝CE ，故A 正确；∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABD +∠DBC ＝45°．∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD ＝∠ACE ，∴∠ACE +∠DBC ＝45°，故B 正确．∵∠ABD +∠DBC ＝45°，∴∠ACE +∠DBC ＝45°，∴∠DBC +∠DCB ＝∠DBC +∠ACE +∠ACB ＝90°，则BD ⊥CE ，故C 正确．∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAE +∠DAC ＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故D 错误．故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．8. 如图，在直角三角形ABC 中，AC=8，BC=6，∠ACB=90°，点E 是AC 的中点，点D 在AB 上，且DE ⊥AC于E ，则CD=（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】 根据已知条件DE 是垂直平分线得到AD CD =，根据等腰三角形的性质得到A ACD ∠=∠，结合∠ACB=90°可得DCB B ∠=∠从而CD BD =，由跟勾股定理得到10AB =，于是得到结论． 【详解】解：点E 为AC 的中点，DE AC ⊥于E ，AD CD ∴=，A ACD ∴∠=∠，90ACB ∠=︒，90A B ACD BCD ∴∠+∠=∠+∠=︒，DCB B ∴∠=∠，CD BD ∴=，8AC =，6BC =，10AB ∴=， 152CD AB ∴==， 故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形性质和判定、勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确理解线段垂直平分线性质和等腰三角形性质是解题的关键．9. 在△ABC 中，∠BAC＝115°，DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，则∠EAG 的度数为（ ）A 50°B. 40°C. 30°D. 25°【答案】A【解析】【分析】 根据三角形内角和定理求出∠B+∠C ，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB ，GA=GC ，根据等腰三角形的性质计算即可．【详解】∵∠BAC=115°， ∴∠B+∠C=65°， ∵DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，∴EA=EB ，GA=GC ，∴∠EAB=∠B ，∠GAC=∠C ，∴∠EAG=∠BAC-（∠EAB+∠GAC ）=∠BAC-（∠B+∠C ）=50°， 故选A ．【点睛】本题考查是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．10. 如图，已知AB ＝AC ，AD ⊥BC ，AE ＝AF ，图中共有（ ）对全等三角形.A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】本题主要考查两个三角形全等的条件:两边夹一角(SAS),两角夹一边(ASA),两角对一边(AAS),三条边(SSS),HL.【详解】7对.理由:根据全等三角形判定可知:△ABE≌△ACF；△ABD≌△ACD；△ABO≌△ACO；△AEO≌△AFO；△COE≌△BOF；△DCO≌△DBO；△BCE≌△CBF.故选C.【点睛】本题考查全等三角形的判定，学生们熟练掌握判定的方法即可.11. 如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB 的中点E，若AD＝3cm，则BE的长为（）A. 332cm B. 4cm 2 D. 6cm【答案】A【解析】【分析】先根据角平分线性质可证CD=DE，从而根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，由DE为AB中线且DE⊥AB，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt△BDE中，根据直角三角形的性质即可求出BE的长.【详解】∵AD平分∠BAC且∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，由AD＝AD，所以，Rt△ACD≌Rt△AED，所以，AC=AE∵E为AB中点，∴AC=AE=12 AB，所以，∠B=30° .∵DE为AB中线且DE⊥AB，∴AD=BD=3cm ，∴DE=12BD=32,∴=2cm.故选A.【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.12. 某广场准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点的周围，正方形和正三角形地砖的块数分别是（）A. 1、2B. 2、1C. 2、2D. 2、3【答案】D【解析】【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．【详解】正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴需要正方形2块，正三角形3块．故选D．【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．13. 已知实数x,y满足|4|0x-=,则以x,y的值为两边长的等腰三角形周长是（）A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对【答案】B【解析】【分析】根据绝对值及二次根式的非负性即可得到x,y的值，再根据三角形的三边关系确定等腰三角形的边即可得到周长.【详解】∵|4|0x -=，40x -≥0∴40x -=，80y -=∴4x =，8y =∵x ,y 的值为等腰三角形两边的长∴等腰三角形的边长为8，8，4或8，4，4∵当等腰三角形的边长为8，4，4时不符合三角形三边关系，舍去∴等腰三角形的边长为8，8，4∴等腰三角形周长是20，故选：B.【点睛】本题主要考查了二次根式及绝对值的非负性，等腰三角形的边，熟练掌握三角形的三边关系是解决本题的关键.14. 以下列数据为长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A. 2 cm 、3cm 、5cmB. 2 cm 、3 cm 、4 cmC. 3 cm 、5 cm 、9 cmD. 8 cm 、4 cm 、4 cm 【答案】B【解析】【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．【详解】A 、2+3=5，故本选项错误．B 、2+3＞4，故本选项正确．C 、3+5＜9，故本选项错误．D 、4+4=8，故本选项错误．故选B ．【点睛】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形．15. 将长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC 、BD 为折痕，若∠ABC=35°,则∠DBE 的度数为A. 55°B. 50°C. 45°D. 60°【答案】A【解析】【分析】 根据折叠的性质可知∠ABC=∠A’BC ，∠DBE=∠DBE’，然后根据平角等于180°代入计算即可得出答案．【详解】解：由折叠的性质可知∠ABC=∠A’BC=35°，∠DBE=∠DBE’，∴∠EBE’=180°-∠ABC-∠A’BC=180°-35°-35°=110°，∴∠DBE=∠DBE’=12∠EBE’=12×110°=55°． 故选A ．【点睛】本题考查了折叠的性质和角的计算，熟知折叠后重合的角相等是解决此题的关键．16. 当x ______时，分式12x x -+有意义． 【答案】x ≠-2【解析】【分析】根据分式有意义的条件是：分母不等于0，即可求解．【详解】解：根据题意得：x+2≠0，解得：x≠-2．故答案是：x≠-2．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，是一个基础题．17. 分解因式2242xy xy x ++=___________【答案】22(1)x y + 【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】原式＝2x （y 2＋2y ＋1）＝2x （y ＋1）2，故答案为2x （y ＋1）2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 18. 如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，30BAC ∠=，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60得到11AB C ∆，连接1BC ，则1BC 的长为__________．【答案】10【解析】【分析】根据旋转的性质可得出11116,30,60AC BAC B AC BA A B C ==∠=∠=︒∠=︒，在1ABC ∆中利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵8AB =，6AC =，30BAC ∠=，∴1116,30AC BAC B AC AC ==∠=∠=︒，∵将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60得到11AB C ∆，∴160BAB ∠=︒∴190BAC ∠=︒∴在1ABC ∆中，2222118610A BC B AC =+=+=．故答案为：10．【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质以及勾股定理，利用旋转的性质得出190BAC ∠=︒是解此题的关键．19. 在△ABC 中，∠A=∠B+∠C ，∠B=2∠C ﹣6°，则∠C 的度数为_____．【答案】32°【解析】【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠A=90°，从而得到∠B 、∠C 互余，然后用∠C 表示出∠B ，再列方程求解即可.【详解】∵∠A=∠B+∠C ，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∴∠B=90°-∠C ， ∵∠B=2∠C-6°， ∴90°-∠C=2∠C-6°， ∴∠C=32°． 故答案为32°. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟记定理并求出∠A 的度数是解题的关键.20. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，DE AC ⊥，垂足为E ，50BAC ∠=︒，则ADE ∠的度数是______．【答案】65【解析】【分析】首先根据三角形的三线合一的性质得到AD 平分∠BAC ，然后求得其一半的度数，从而求得答案．【详解】∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵∠BAC ＝50°，∴∠DAC ＝25°，∵DE ⊥AC ，∴∠ADE ＝90°−25°＝65°，故答案为65°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形三线合一的性质，难度不大．21. 已知--12b x =a ，-22b +x =a ，若，,===-322a b c ，试求12x x +的值． 【答案】23-【解析】【分析】 首先利用12x x +，代入进行化简，在代入参数计算.【详解】解：原式 =2b b a--+ =b a - =23- 【点睛】本题主要考查分式的化简计算.22. 阅读下面的材料：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式225a a -+的最小值.方法如下： ∵()2222521414a a a a a -+=-++=-+，由()210a -≥，得()2144a -+≥；∴代数式225a a -+的最小值是4.（1）仿照上述方法求代数式2107x x ++的最小值.（2）代数式2816a a --+有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.【答案】（1）18-；（2）有最大值，最大值为32.【解析】【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．【详解】解：（1）∵()222107102518518x x x x x ++=++-=+-，由()250x +≥，得 ()251818x +-≥-；∴代数式2107x x ++的最小值是18-；（2）()22281681632432a a a a a --+=---+=-++，∵()240a -+≤，∴()243232a -++≤，∴代数式2816a a --+有最大值，最大值为32.【点睛】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．23. 如图，A （0，4）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t 秒．（1）若AB //x 轴，求t 的值；（2）当t =3时，坐标平面内有一点M （不与A 重合），使得以M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，请求出点M 的坐标；【答案】(1)4;(2) （4，7）或（10，-1）或（6，-4）或（0，4）.【解析】【分析】（1）由AB ∥x 轴，可找出四边形ABCO 为长方形，再根据△APB 为等腰三角形可得知∠OAP=45°，从而得出△AOP 为等腰直角三角形，由此得出结论；（2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得出结论，注意分类讨论．【详解】解：（1）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，如图所示．∵AO ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，且AB ∥x 轴，∴四边形ABCO 为长方形，∴AO=BC=4．∵△APB 为等腰直角三角形，∴AP=BP ，∠PAB=∠PBA=45°，∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，∴△AOP 为等腰直角三角形，∴OA=OP=4．∴t=4÷1=4（秒），故t 的值为4．（2）当t=3时，OP=3．∵OA=4，∴由勾股定理，得 AP=22OA OP +=5．∴AP=PB=5，AB=52,∴当△MPB ≌△ABP 时，此时四边形APBM 1是正方形，四边形APBM 3是平行四边形，易得M 1（4，7）、M 3（10，-1）；当△MPB ≌△APB 时，此时点M 2与点A 关于点P 对称，易得M 2（6，-4）．当两个三角形重合时，此时符合条件的点M 的坐标是（0，4）；综上所述，点M 的坐标为（4，7）或（10，-1）或（6，-4）或（0，4）；【点睛】本题考查了长方形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．24. 如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=︒，BOC α∠=，将CO 绕点C 顺时针方向旋转60︒得到CD ，连接AD ，OD .（1）当150α=︒时，判断AOD ∆的形状，并说明理由；（2）求DAO ∠的度数；（3）请你探究：当α为多少度时，AOD ∆是等腰三角形？【答案】（1）AOD ∆为直角三角形，理由见解析；（2）50DAO ∠=︒；（3）当α为125︒或110︒或140︒时，AOD ∆为等腰三角形.【解析】【分析】（1）由旋转可以得出OCD ∆和ABC ∆均为等边三角形 ，再根据BOC ADC ∆≅∆求出150ADC BOC ∠=∠=︒，进而可得AOD ∆为直角三角形；（2）因为BOC ADC ∆≅∆进而求得∠=∠DAC CBO ，根据∠=DAO (20)1ABO BAO ︒-∠+∠，即可求出求DAO ∠的度数；（3）由条件可以表示出∠AOC=250°-a ，就有∠AOD=190°-a ，∠ADO=a-60°，当∠DAO=∠DOA ，∠AOD=ADO 或∠OAD=∠ODA 时分别求出a 的值即可．【详解】解：（1）AOD ∆为直角三角形，理由如下： CO 绕C 顺时针旋转60︒得到CD ，OCD ∴∆和ABC ∆均为等边三角形，BC AC =，OC CD =，60BCO ACO ∠+∠=︒，60ACD ACO ∠+∠=︒BCO ACD ∴∠=∠BOC ADC ∴∆≅∆150ADC BOC ∴∠=∠=︒，90ADO ADC ODC ∴∠=∠-∠=︒AOD ∴∆为直角三角形；（2）由（1）知：BOC ADC ∆≅∆，DAC CBO ∴∠=∠，60CBO ABO ∠=︒-∠，60CAO BAO ∠=︒-∠DAO DAC CAO CBO CAO ∴∠=∠+∠=∠+∠=()(6060)ABO BAO ︒-∠+︒-∠=(20)1ABO BAO ︒-∠+∠18011070ABO BAO ∠+∠=︒-︒=︒，1207050DAO ∴∠=︒-︒=︒；（3）∵∠AOB=110°，∠BOC=α∴∠AOC=250°-a ． ∵△OCD 是等边三角形，∴∠DOC=∠ODC=60°，∴∠ADO=a-60°，∠AOD=190°-a ， 当∠DAO=∠DOA 时，2（190°-a ）+a-60°=180°，解得：a=140°当∠AOD=ADO 时，190°-a=a-60°，解得：a=125°，当∠OAD=∠ODA 时，190°-a+2（a-60°）=180°，解得：a=110°∴α=110°，α=140°，α=125°．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的判定，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．25. 如图，AB ∥EF ，AD 平分∠BAC ，且∠C ＝45°，∠CDE ＝125°，求∠ADF 的度数．【答案】∠ADF ＝40°．【解析】【分析】根据外角的性质得到∠CFD＝∠CDE﹣∠C＝125°﹣45°＝80°，根据平行线的性质得到∠BAC＝∠DFC＝80°，根据角平分线的定义得到∠F AD＝12∠BAC＝40°，于是得到结论．【详解】解：∵∠CDE＝125°，∠C＝45°，∴∠CFD＝∠CDE﹣∠C＝125°﹣45°＝80°，∵AB∥EF，∴∠BAC＝∠DFC＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠F AD＝12∠BAC＝40°，∴∠ADF＝∠DFC﹣∠DAF＝40°．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．。