2019年广东省广州市白云区中考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.2的相反数是()A. −2B. 12C. −12D. 22.式子√x−1在实数范围内有意义，那么()A. x>−1B. x>1C. x≥−1D. x≥13.如图所示的几何体主视图是()A.B.C.D.4.下列计算中，正确的是()A. a+2a=3a2B. 3a−2a=aC. a⋅2a=3a2D. 2(a+1)=2a5.若一组数据为：2，3，1，3，3.则下列说法错误的是()A. 这组数据的众数是3B. 事件“在这组数据中随机抽取1个数，抽到的数是0.“是不可能事件C. 这组数据的中位数是3D. 这组数据的平均数是36.下列各实数中，最接近3的是()A. √2B. √6C. √10D. √127.在数轴上用点B表示实数b.若关于x的一元二次方程x2+bx+1=0有两个相等的实数根，则()A. OB=2B. OB>2C. OB≥2D. OB<28.画△ABC，使∠A=45∘，AB=10cm，∠A的对边只能在长度分别为6cm、7cm、8cm、9cm的四条线段中任选，可画出()个不同形状的三角形．A. 2B. 3C. 4D. 69.若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则下列结论中，正确的有()个①二次函数y=x2+kx+b的图象一定经过点(0,2)②二次函数y=x2+kx+b的图象开口向上③二次函数y=x2+kx+b的图象对称轴在y轴左侧④二次函数y=x2+kx+b的图象不经过第二象限A. 1B. 2C. 3D. 410.如图，过△ABC内任一点P，作DE//BC，GF//AC，KH//AB，则DEBC +GFAC+KHAB=()A. 1B. 43C. 2D. 83二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知∠1=23∘，则∠1的余角是______ ∘.12.白云湖是广州市政府便民利民的综合性水利工程，北部水系首期工程完工后，每天可以从珠江西航道引入1000000万立方米的活水进入白云湖，进而改善周边河涌的水质.将1000000用科学记数法可记为______．13.分解因式：2ab2−6a2=______．14.把二次函数y=x2+2x+3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到二次函数______的图象．15.3张除所标数值外完全相同的卡片，它们标有的数值分别为1、2、−3.把这3张卡片，背面朝上放在桌面上，随机抽取2张，把抽到卡片上的数值分别作为A点的横坐标、纵坐标，则A点落在第一象限的概率是______．16.如图，AB=AC，∠CAB=90∘，∠ADC=45∘，AD=1，CD=3，则BD=______．三、解答题（本大题共9小题，共102.0分）17.解下列不等式，并在数轴上表示解集：2(x−3)>1．18.如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，E为AC、BD的交点.求证：AC=DB．19. 已知A =(3x −1)(2x +1)−x +1−6y 2．(1)化简A ；(2)当x 、y 满足方程组{x −y =1x+y=5时，求A 的值．20. 从某校1500名学生中随机抽查了40名学生对球类运动的喜好情况.整理数据后绘制成扇形统计图，如图： (1)直接写出被抽查的40名学生中，“最喜欢篮球”的人数：______人，“最喜欢乒乓球”对应扇形的圆心角度数：______；根据调查结果可估计该校学生中“最喜欢足球”的人数约为______．(2)在被抽查的40名学生中，“最喜欢篮球”的调查结果：只有2名女生，其余的都是男生.现从上述所有“最喜欢篮球”的学生中随机抽取2名学生进行篮球技能测试，求所抽取的2名学生中至少有1名女生的概率． 21. 如图，一次函数y =kx +b 与反比例函数y =mx 的图象交于A(n,3)，B(−3,−2)两点．(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．22.开学初，某文化用品商店减价促销，全场8折.购买规格相同的铅笔套装，折价后用32元买到的数量刚好比按原价用50元买到的数量少2套.求原来每套铅笔套装的价格是多少元？23.已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连结EC(AB>AE)．(1)尺规作图：过点E作EF⊥EC交AB于F点，连结FC；(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)(2)在(1)所作的图中，求证：△AEF∽△ECF．=k，是否存在(3)在(1)所作的图中，∠BCF≠∠AFE，设ABBC这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．x2+bx+c的图象经过点24.如图，已知二次函数y=12A(−3,6)，并与x轴交于点B(−1,0)和点C，顶点为点P．(1)求这个二次函数解析式； (2)设D为x轴上一点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标；(3)作直线AP，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，在直线AP上是否存在点N，使AM+MN的值最小？若存在，求出M、N的坐标：若不存在，请说明理由．25.如图①，已知△ABC内接于⊙O，∠BOC=120∘，点A在优弧BC上运动，点M是AC⏜的中点，BM交AC于点D，点N是AB⏜的中点，CN交AB于点E，BD、CE相交于点F．(1)求证：当∠ACB=60∘时，如图②，点F与点O重合；(2)求证：EF=DF；(3)在(1)中，若△ABC的边长为2，将△ABD绕点D，按逆时针方向旋转m∘，得到△HGD(DH<DG)，AB与DH交于点J，DG与CN交于点I，当0<m<60时，△DLJ 的面积S是否改变？如果不变，求S的值；如果改变，求S的取值范围．【答案】 1. A 2. D 3. D 4. B5. D6. C7. A8. C 9. B 10. C11. 6712. 1×10613. 2a(b 2−3a)14. y =(x +2)2+1或y =x 2+2x +5 15. 1316. √1117. 解：去括号，得：2x −6>1，移项，得：2x >1+6， 合并同类项，得：2x >7， 系数化成1得：x >72．．18. 证明：在△ABC 和△DCB 中，{AB =DC∠ABC =∠DCB BC =BC∴△ABC≌△DCB(SAS)∴AC =DB19. 解：(1)A =(3x −1)(2x +1)−x +1−6y 2=6x 2+x −1−x +1−6y 2=6x 2−6y 2；(2)解方程组{x −y =1x+y=5， 得{y =2x=3，A =6x 2−6y 2=6×32−6×22=54−24=30； 20. 5 72∘ 45021. 解：(1)将点B(−3,−2)代入y =mx ，∴m =6， ∴y =6x ，∴n =2， ∴A(2,3)，将A(2,3)，B(−3,−2)代入y =kx +b ， {−2=−3k +b 3=2k+b ， ∴{b =1k=1，∴y =x +1；(2)y =x +1与x 轴交点坐标(−1,0)，∴S =12×1×(3+2)=52；22. 解：设原来每套铅笔套装的价格是x 元，现在每套铅笔套装的价格是0.8x 元，依题意得：50x −2=320.8x ．解得x =5．经检验：x =5是原方程的解，且符合题意． 答：原来每套铅笔套装的价格是5元．23. 解：(1)如图所示：EF ⊥EC ；(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠D =90∘，即∠AFE +∠AEF =90∘， ∵EF ⊥EC ，∴∠DEC +∠AEF =90∘，∴∠AFE =∠DEC ，又∠A =∠D ， ∴△AEF∽△DCE ， ∴AF DE=EF EC，∵AE =ED ．∴AFAE =EFEC ，又∠A =∠FEC =90∘，∴AEF∽△ECF ；(3)存在k 值，使得△AEF 与△BFC 相似 理由如下：设BC =a ，则AB =ka ，∵△AEF 与△BFC 相似，∠A =∠B =90∘，∠BCF ≠∠AFE ， ∴△AEF∽△BCF ， ∴AF BF =AE BC =12， ∴AF =13ka ，BF =23ka ， ∵△AEF∽△DCE ， ∴AE CD=AF DE，即12a ka =13ka 12a ，解得，k =√32．24. 解：(1)将点A 、B 坐标代入二次函数表达式得：{6=92−3b +30=−12−b +c ，解得：{b =−1c =−32， 故：抛物线的表达式为：y =12x 2−x −32， 令y =0，则x =−1或3，令x =0，则y =−32，故点C 坐标为(3,0)，点P(1,−2)；(2)过点B 作BH ⊥AC 交于点H ，过点P 作PG ⊥x 轴交于点G ，设：∠DPC=∠BAC=α，由题意得：AB=2√10，AC=6√2，BC=4，PC=2√2，S△ABC=12×AC×BH=12×BC×y A，解得：BH=2√2，sinα=BHAB =√22√10=√5，则tanα=12，由题意得：GC=2=PG，故∠PCB=45∘，延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，则MD=MC=x，在△PMD中，tanα=MDPM =x+2√2=12，解得：x=2√2，则CD=√2x=4，故点P(7,0)；(3)作点A关于对称轴的对称点A′(5,6)，过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，直线AP表达式中的k值为：8−4=−2，则直线A′N表达式中的k值为12，设直线A′N的表达式为：y=12x+b，将点A′坐标代入上式并求解得：b=72，故直线A′N的表达式为：y=12x+72…①，当x=1时，y=4，故点M(1,4)，同理直线AP的表达式为：y=−2x…②，联立①②两个方程并求解得：x=−75，故点N(−75,145).25. 解：(1)∵∠BOC =120∘，∴∠A =12∠BOC =60∘，∵∠ACB =60∘， ∴∠ABC =60∘，∴△ABC 是等边三角形，∵点M 是AC⏜的中点，点N 是AB ⏜的中点， ∴AM ⏜=CM ⏜，BN⏜=AN ⏜， ∴∠BCN =12∠ACB =30∘，∠CBM =12∠ABC =30∘， ∴BF =CF ，∠BFC =∠BOC =120∘， 又△ABC 是等边三角形， ∴点F 与点O 重合； (2)如图1，由(1)知∠BCN =∠ACN ，∠CBM =∠ABM ， ∴⊙F 是△ABC 的内切圆，过点F 作FW ⊥AB 于W ，作FS ⊥AC 于S ， 则∠FWA =∠FSA =90∘，FW =FS ， ∵∠A =60∘，∴∠WFS =120∘，∠ABC +∠ACB =120∘， ∵∠BCN =12∠ACB ，∠CBM =12∠ABC ， ∴∠BCN +∠CBM =60∘， ∴∠BFC =∠EFD =120∘， ∴∠WFE =∠SFD ，∴△FWE≌△FSD(ASA)， ∴EF =DF ；(3)△DLJ 的面积S 改变，且√38≤S <√36，如图2，由(1)知△ABC 是等边三角形，且点F 是△ABC 是内心和外心， ∵AM ⏜=CM ⏜，BN ⏜=AN ⏜， ∴BD ⊥AC ，且AD =CD =1， ∴BD =√3，∠ADB =90∘， ∵F 是△ABC 的外心， ∴DF =13BD =√33， 由旋转知∠ADB =∠GDH =90∘，∠ADJ =∠FDI =m ∘， ∵∠BFC =120∘， ∴∠DFI =∠A =60∘， ∴△FID∽△AJD ， ∴DIDJ =DFAD =√331=√33， ∴DI =√33DJ ， 则S =12DI ⋅DJ =√36DJ 2，∴S 随DJ 的变化而变化，不是定值，当m =30时，DJ ⊥AB ，此时DJ =ADsinA =√32，S =√36×(√32)2=√38；当m =60时，△ADJ 是等边三角形，此时DJ =AD =1，S =√36×12=√36；由0<m <60知√32≤DJ <1，∴√38≤S <√36．。